函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
共2159题

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函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
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题型：单选题

单选题

将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（　　）

By=2cos2x

Cy=2sin2x

Dy=-cos2x

正确答案

解析

解：根据函数的平移原则为左加右减上加下减可得

函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位的函数为

y=sin（2x-）+1=1-cos2x=2sin2x．

故选C

题型：简答题

简答题

已知a＜0，函数f（x）=asin（2x+）+b，当x∈[0，]时，f（x）∈[-5，1]，

（1）求常数a，b的值；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，且g（x）＞0，求g（x）的单调区间．

正确答案

解：（1）由x∈[0，]⇒2x+∈[，]，

∴-≤sin（2x+）≤1，又a＜0，

∴a≤asin（2x+）≤a，a+b≤asin（2x+）+b≤a+b，

∵-5≤f（x）≤1，

∴a+b=-5，a+b=1，解得a=-4．

∴a=-4，b=-1．

（2）由（1）知f（x）=-4sin（2x+）-1．

图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，

所以g（x）=-4sin[2（x+）+]-1=4sin（2x+）-1．

由g（x）＞0，得到4sin（2x+）＞1．所以sin（2x+）＞．

所以2kπ+arcsin＜2x+＜2kπ+π+arcsin，

由2kπ+≤2x+＜2kπ+π+arcsin，得到kπ+≤x＜kπ++arcsin，所以g（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ++arcsin），

由2kπ+arcsin＜2x+≤2kπ+，解得kπ+arcsin＜x≤kπ+，k∈Z，所以g（x）的单调递增区间为（kπ+，kπ+]．

解析

解：（1）由x∈[0，]⇒2x+∈[，]，

∴-≤sin（2x+）≤1，又a＜0，

∴a≤asin（2x+）≤a，a+b≤asin（2x+）+b≤a+b，

∵-5≤f（x）≤1，

∴a+b=-5，a+b=1，解得a=-4．

∴a=-4，b=-1．

（2）由（1）知f（x）=-4sin（2x+）-1．

图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，

所以g（x）=-4sin[2（x+）+]-1=4sin（2x+）-1．

由g（x）＞0，得到4sin（2x+）＞1．所以sin（2x+）＞．

所以2kπ+arcsin＜2x+＜2kπ+π+arcsin，

由2kπ+≤2x+＜2kπ+π+arcsin，得到kπ+≤x＜kπ++arcsin，所以g（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ++arcsin），

由2kπ+arcsin＜2x+≤2kπ+，解得kπ+arcsin＜x≤kπ+，k∈Z，所以g（x）的单调递增区间为（kπ+，kπ+]．

题型：单选题

单选题

将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是（　　）

Cy=2+sin2x

Dy=2+cos2x

正确答案

解析

解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数=，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是；

故选A

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=m（cosx+sinx）2+1-2sin2x，x∈R，

（1）求实数m的值；

（2）求函数f（x）的最小值及此时x值的集合．

正确答案

解：（1）∵f（x）=m（1+sin2x）+cos2x的图象经过点（，2），

∴f（）=m（1+sin）+cos=2m=2，解得m=1．

（2）由（1）得f（x）=1+sin2x+cos2x=sin（2x+）+1，

∴当sin（2x+）=-1时，f（x）的最小值为1-；

由sin（2x+）=-1，得2x+=2kπ-，

解得x=kπ-（k∈Z），

此时x值的集合为{x|x=kπ-，k∈Z}．

解析

解：（1）∵f（x）=m（1+sin2x）+cos2x的图象经过点（，2），

∴f（）=m（1+sin）+cos=2m=2，解得m=1．

（2）由（1）得f（x）=1+sin2x+cos2x=sin（2x+）+1，

∴当sin（2x+）=-1时，f（x）的最小值为1-；

由sin（2x+）=-1，得2x+=2kπ-，

解得x=kπ-（k∈Z），

此时x值的集合为{x|x=kπ-，k∈Z}．

题型：填空题

填空题

（2015秋•宜昌期末）对于函数的图象：

①关于直线对称；

②关于点对称；

③可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到；

④可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到．

以上叙述正确的序号是______．

正确答案

②④

解析

解：对于函数，

①当x=-时，求得f（x）=0，不是函数的最值，故f（x）的图象不关于直线对称，故排除①．

②当x=时，求得f（x）=0，故f（x）的图象关于点对称，故②正确．

③把y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故③不正确．

④把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故④正确，

故答案为：②④．

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