圆内接四边形的性质与判定定理
共255题

圆内接四边形的性质与判定定理
共255题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若，求的值．

正确答案

解：（1）证明：连接OD，

得∠ODA=∠OAD=∠DAC，…（2分）

∴OD∥AE，

又AE⊥DE，…（3分）

∴DE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线 …（5分）

（2）过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB

cos∠DOH=cos∠CAB=，…（6分）

设OD=5x，

则AB=10x，OH=3x，DH=4x，

∴AH=8x，

AD2=80x2，

由△AED∽△ADB，

得AD2=AE•AB=AE•10x，

∴AE=8x，…（8分）

又由△AEF∽△DOF，

得AF：DF=AE：OD=，

∴．…（10分）

解析

解：（1）证明：连接OD，

得∠ODA=∠OAD=∠DAC，…（2分）

∴OD∥AE，

又AE⊥DE，…（3分）

∴DE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线 …（5分）

（2）过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB

cos∠DOH=cos∠CAB=，…（6分）

设OD=5x，

则AB=10x，OH=3x，DH=4x，

∴AH=8x，

AD2=80x2，

由△AED∽△ADB，

得AD2=AE•AB=AE•10x，

∴AE=8x，…（8分）

又由△AEF∽△DOF，

得AF：DF=AE：OD=，

∴．…（10分）

题型：简答题

简答题

如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．

求证：∠ACB=∠OAC．

正确答案

解：如图，取EC的中点F，连接AF，OE，AE．

则OE⊥EC，AF∥OE．

∴AF⊥EC．

∴∠CAF=∠EAF．

又∵OE∥AF∥BC，

∴∠EAF=∠OEA=∠OAE，

∠CAF=∠ACB．

∴∠OAE=∠EAF=∠CAF=∠ACB．

∴∠ACB=∠OAC．

解析

解：如图，取EC的中点F，连接AF，OE，AE．

则OE⊥EC，AF∥OE．

∴AF⊥EC．

∴∠CAF=∠EAF．

又∵OE∥AF∥BC，

∴∠EAF=∠OEA=∠OAE，

∠CAF=∠ACB．

∴∠OAE=∠EAF=∠CAF=∠ACB．

∴∠ACB=∠OAC．

题型：填空题

填空题

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PC=______cm．

正确答案

解析

解：连接OC，

PC是⊙O的切线，

∴∠OCP=90°

∵∠CPA=30°，OC==3，

∴tan30°=，

即PC=．

故填：．

题型：简答题

简答题

如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b．其中a=14，BC边上的高为12，内切圆半径r=4．求AB的长．

正确答案

解：由题意，bcsinA=（b+c+14）×4=×14×12，

∴b+c=28，bcsinA=168，

∵cosA=，

∴=，

∴sinA=，

∴bc=165，

∵b+c=28，

∴b=5，c=23或b=23，c=5，

∴AB=5或23．

解析

解：由题意，bcsinA=（b+c+14）×4=×14×12，

∴b+c=28，bcsinA=168，

∵cosA=，

∴=，

∴sinA=，

∴bc=165，

∵b+c=28，

∴b=5，c=23或b=23，c=5，

∴AB=5或23．

题型：填空题

填空题

（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则CD的长为______．

正确答案

解析

解：由AD与圆O相切于点D，根据切割线定理可得AD2=AE•AB，又AD=2，AE=1，∴．

由CD，CB都是圆O的切线，根据切线长定理可得，设CD=x，则CB=x．

由切线的性质可得：AB⊥BC，

∴AB2+BC2=AC2，∴42+x2=（x+2）2，得x=3，即CD=3．

故答案为3．

题型：填空题

填空题

如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC，则sin∠ACO=______．

正确答案

解析

解：∵AB为直径，BC为圆的切线

且AD=DC

∴△ABC为等腰直角三角形，

设圆的半径为1，则OB=1，BC=2，0C=

∴sin∠BC0=，cos∠BC0=

∴sin∠ACO=sin（45°-∠BCO）=

故答案为：

题型：填空题

填空题

如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为______．

正确答案

解析

解：连接OD、BD，

∵DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点

∴可得等腰三角形BOD是等边三角形，

∵在直角三角形OCD中，CD=2，

∴可得OD=，

∵CD是圆O的切线，∴由切割线定理得，

∴CD2=CB×CA，

即4=CB×（CB+）

∴BC=，

故填：．

题型：填空题

填空题

如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A=______．

正确答案

67°

解析

解：由圆的切线的性质可知，DB=DC

∵∠D=46°

∴∠DBC=∠DCB=67°

∵DB，DC是⊙O的两条切线

∴∠DBC是圆的弦切角，且A是圆的圆周角

由弦切角定理可知，∠DBC=∠A=67°

故答案为67°

题型：填空题

填空题

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC=3，，则AB的长为______．

正确答案

解析

解：∵BC是⊙O的切线，∴BC2=CD•CA，即，CD＞0，解得CD=．

∴AC=5．

由BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC．由勾股定理可得==4．

故答案为4．

题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲：

如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点且CD⊥AB于C，E，F分别为圆上的点满足∠ACF=∠BCE，直线FE、AB交于P，求证：PD为⊙O的切线．

正确答案

证明：延长FC交圆与G，连接GB、OD，如图．

∠POF=2∠OAF，

而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，

∴∠POF=∠PEC

又根据圆的对称性，得∠PGC=∠PEC

在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，

∠PGC=∠PEC，

∴△PGC∽△FOC，

∴PC•OC=GC•FC，

又CD2=GC•FC，

∴PC•OC=CD2

∴△PDC∽△DOC．

∴∠PDC=∠DOC，

∵∠DOC+∠ODC=90°，

∴∠PDC+∠ODC=90°，

∴PD是⊙O的切线．

解析

证明：延长FC交圆与G，连接GB、OD，如图．

∠POF=2∠OAF，

而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，

∴∠POF=∠PEC

又根据圆的对称性，得∠PGC=∠PEC

在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，

∠PGC=∠PEC，

∴△PGC∽△FOC，

∴PC•OC=GC•FC，

又CD2=GC•FC，

∴PC•OC=CD2

∴△PDC∽△DOC．

∴∠PDC=∠DOC，

∵∠DOC+∠ODC=90°，

∴∠PDC+∠ODC=90°，

∴PD是⊙O的切线．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 圆的切线的性质及判定定理

百度题库 > 高考 > 数学 > 圆内接四边形的性质与判定定理

扫码查看完整答案与解析