- 圆内接四边形的性质与判定定理
- 共255题
求证：DE是圆O的切线．
正确答案
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD
∵∠BAC的平分线是AD
∴∠OAD=∠DAC
∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（5分）
又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD
∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线．…（10分）
解析
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD
∵∠BAC的平分线是AD
∴∠OAD=∠DAC
∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（5分）
又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD
∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线．…（10分）
（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC=
正确答案
解析
解：已知如图：
∵PA是圆O（O为圆心）的切线，，∠PAB=30°，
由弦切角定理得∠C=30°
又∵BC为直径，
∴∠BAC=90°
又∵AC=
∴2R=BC=
则圆O的面积为S=
故答案为：
正确答案
2
解析
解：∵AB=AC，∠C=72°
∴∠A=36°
圆O过AB两点且BC切于B
∴∠CBD=∠A=36°
∴∠ABD=36°
∴AD=BD
∠BDC=72°
BC=BD
∴△ABC∽△BCD
∴BC 2=CD•AC=（AC-BC）AC
∴AC=2
故答案为：2
正确答案
解析
解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=
∴AF=2，BF=1，BE=
由切割定理得CE2=BE•EA=
∴CE=
故答案为：
如图，AB是的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，∠ACE=40°，则∠P=（ ）
正确答案
解析
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，
又∠ACE=40°，且PB=PC
∴∠PCB=∠PBC=50°，
∴∠P=180°-50°-50°=80°
故选：C．
正确答案
60
3
解析
解：∵PD=1，BD=8，
∴PB=PD+BD=9
由切割线定理得PA2=PD•PB=9
∴PA=3
又∵PE=PA
∴PE=3
又∠PAC=∠ABC=60°
故答案：60，3
正确答案
解析
解：∵D是BC的中点，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．
又∵PA切圆O于点A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．
∵∠BED=∠PEA，
∴△BED∽△PEA，可得
∴AE2=BE•AE=PE•ED=6．
由此解出AE=
∵AE2=GE•EF，∴GE=2，
∴PG=1，
∴PA2=PG•PF=6，
∴PA=
故答案为：
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若AD=2
正确答案
证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． …（5分）
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即
解得
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴在Rt△BCE中，可得EC=
解析
证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． …（5分）
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即
解得
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴在Rt△BCE中，可得EC=
正确答案
π
解析
解：∵PA是圆O的切线，
∴OA⊥AP．
又∵∠PAB=120°，
∴∠BAO=∠ABO=30°．
又∵在Rt△ABC中，AC=1，
∴BC=2，即圆O的直径2R=2，
∴圆O的面积S=πR2=π，
故答案为：π．
正确答案
解：∵ABCD四点共线
∴∠ADF=∠ABC
又∵PF∥BC
∴∠AFP=∠FDP
又∵∠CPF=∠FPD
∴△APF∽△FPD
∴
∴PF2=PA•PD
又PQ与圆相切
∴PQ2=PA•PD
∴QF2=PQ2
∴PF=PQ
解析
解：∵ABCD四点共线
∴∠ADF=∠ABC
又∵PF∥BC
∴∠AFP=∠FDP
又∵∠CPF=∠FPD
∴△APF∽△FPD
∴
∴PF2=PA•PD
又PQ与圆相切
∴PQ2=PA•PD
∴QF2=PQ2
∴PF=PQ
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