圆内接四边形的性质与判定定理
共255题

圆内接四边形的性质与判定定理
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题型：简答题

简答题

已知△ABC的内切圆⊙O如图，若∠DEF=54°，则∠BAC等于______．

正确答案

解：如图，连接OD、OE，则∠ODA=∠OFA=90°；

⊙O中，∠DOF=2∠DEF=2×54°=108°；

四边形ADEF中，∠ODA=∠OFA=90°，

∴∠BAC+∠DOF=180°，

即∠BAC=180°-∠DOF=72°．

故答案为：72°．

解析

解：如图，连接OD、OE，则∠ODA=∠OFA=90°；

⊙O中，∠DOF=2∠DEF=2×54°=108°；

四边形ADEF中，∠ODA=∠OFA=90°，

∴∠BAC+∠DOF=180°，

即∠BAC=180°-∠DOF=72°．

故答案为：72°．

题型：简答题

简答题

如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．

（Ⅰ）求证：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

正确答案

解：（I）证明：连接AB，

∵AC是⊙O1的切线，

∴∠BAC=∠D，

又∵∠BAC=∠E，

∴∠D=∠E，

∴AD∥EC．

（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，

∴PA2=PB•PD，

∴62=PB•（PB+9）

∴PB=3，

在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，

∴PE=4，

∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

∴AD2=DB•DE=9×16，

∴AD=12

解析

解：（I）证明：连接AB，

∵AC是⊙O1的切线，

∴∠BAC=∠D，

又∵∠BAC=∠E，

∴∠D=∠E，

∴AD∥EC．

（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，

∴PA2=PB•PD，

∴62=PB•（PB+9）

∴PB=3，

在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，

∴PE=4，

∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

∴AD2=DB•DE=9×16，

∴AD=12

题型：填空题

填空题

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O的切线PA与弦BC的延长线相交于点P，∠PBA的平分线交PA于点D，∠ABC=30°．

（1）求∠ADB的度数；

（2）若PA=2cm，求BC的长．

正确答案

解析

解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴∠PAB=90°，

∵BD平分∠PBA，

∴∠ABD=∠PBA=×30°=15°，

∴∠ADB=90°-∠ABD=75°；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠PCA=∠ACB=90°；

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠PAC=∠PAB-∠BAC=30°；

在Rt△PAC中，

∵PA=2，∠PCA=90°，

∴PC=PA=1；

在Rt△ABP中，

∵∠ABP=30°，∠PAB=90°，

∴PB=2AP=2×2=4，

∴BC=PB-PC=3（cm）．

题型：填空题

填空题

（2015春•舟山校级期中）如图，，P是以AB为直径的半圆弧上的动点，以CP为一边作正△CPD，则的最大值是______．

正确答案

解析

解：将△POC绕P点按逆时针方向旋转60°，得△PED，

从而|OD|≤|OE|+|ED|=1+3=4．

故答案为：4．

题型：填空题

填空题

已知：如图，AB是⊙O的弦，点C在上．

（1）若∠OAB=35°，求∠AOB的度数；

（2）过点C作CD∥AB，若CD是⊙O的切线，求证：点C是的中点．

正确答案

解析

解：（1）∵OA=OB，∠OAB=35°，

∴∠OBA=∠OAB=35°．

∴∠AOB=110°．

（2）证明：连接OC，

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD又AB∥CD，

∴OC⊥AB．

∴．

即C是的中点．

题型：填空题

填空题

如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点与D，DE⊥AC．

（1）求证：△BAD∽△CED；

（2）求证：DE是⊙O的切线．

正确答案

解析

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．（1分）

又∵BD=CD，

∴AB=AC，∠B=∠C．（2分）

∵∠CED=∠ADB=90°，

∴△BDA∽△CED．（3分）

（2）连接OD，

∵OA=OB，BD=CD，

∴OD∥AC．（5分）

又∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

所以DE是⊙O的切线．（6分）

题型：填空题

填空题

如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为______．

正确答案

135°

解析

解：连接OC，如下图所示：

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA

∴∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC

又∵∠APC的角平分线为PQ

∴∠OPQ=∠CPQ

在△OCP中，∠POC+∠OPC+∠OCP=2（∠OAC+∠OPQ）+∠OCP=180°

又∵∠OCP=90°

∴∠OAC+∠OPQ=45°

∵∠CQP=∠OAC+∠OPQ=45°

∴∠AQP=135°

故答案为：135°

题型：填空题

填空题

如图所示，已知圆O的直径AB=，C为圆O上一点，且BC=，过点B的切线交AC延长线于点D，则DB=______．

正确答案

解析

解：∵AB是直径，∴∠ACB为直角，

∵BC=，AB=，∴AC=2，

∵DB与⊙O相切，

∴∠DBA为直角，

由射影定理得BC2=AC•CD，

∴CD=1，

∴DB2=DC•AD=3，

∴DB=．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②AD=DB；③AP=BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是（　　）

A①②④

B①③④

C②③④

D①②③

正确答案

解析

解：连接BD．

由题意可证△PCD≌△HCD（HL），

∴CH=CP；

还可以证明△ADP≌△BDH（AAS），

∴AD=DB；AP=BH．

因圆的直径不确定，而无法证明DH为圆的切线．

故选D．

题型：填空题

填空题

如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则线段CD的长为______．

正确答案

解析

解：连接OC，则OC⊥直线l，所以OC∥AD，

∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，

又AB=6，BC=3，所以∠CAB=30°，AC==3，

由OA=OC得，∠ACO=∠CAB=30°，

∵OC∥AD，

∴∠CAD=∠ACO=30°，

∴CD=AC=×3=

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