- 圆内接四边形的性质与判定定理
- 共255题
正确答案
∵OA=OC=R
所以∠OAC=∠OCA．
又因为CA平分∠BAF，
所以∠OAC=∠FAC，
于是∠FAC=∠OCA，
所以OC∥AD．
又因为CD⊥AF，
所以CD⊥OC，
故DC是⊙O的切线．
解析
∵OA=OC=R
所以∠OAC=∠OCA．
又因为CA平分∠BAF，
所以∠OAC=∠FAC，
于是∠FAC=∠OCA，
所以OC∥AD．
又因为CD⊥AF，
所以CD⊥OC，
故DC是⊙O的切线．
正确答案
3
解析
解：连接OD，设半径为x．
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10
∵AC切半圆O于点D，
∴OD⊥AC，AEAC
又∵BC⊥AC于C，
∴OD∥BC，
则△AOD∽△ABC
则
∴AE=
∵sin∠DAE=
∴DF=
故答案为：3．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=3时，求AP的长．
正确答案
解析
解：（1）方法一：
∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°-2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．
方法二：
∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA；
∵∠OAB=30°，OA⊥PA，
∴∠BAP=90°-30°=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB=60°．
（2）方法一：如图①，连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PO平分∠APB，即∠APO=
又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，
∴AP=
方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D；
∵在△OAB中，OA=OB，
∴AD=
∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，
∴AD=OA•cos30°=
∴AP=AB=
如图PM为圆O的切线，T为切点，
正确答案
解析
∵PT是圆O的切线，
∴∠ABT=∠ATM=60°，∠PTO=90°，
∴在△BOT中，有∠BOT=60°
在直角三角形POT中，∵∠BOT=60°
∴PO=2BO，
∴PA=3AO，
∵圆O的面积为2π，∴AO=
∴PA=3
故填：
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．
正确答案
解析
解：（1）由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°；
∵CD是⊙O的切线，CO是半径，
∴CD⊥CO，
∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，
故△CDQ是等腰三角形．
（2）设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，BC=
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，
∴CQ=BC=
∴AQ=AC+CQ=1+
∴AP=
∴BP=AB-AP=
∴PO=AP-AO=
∴BP：PO=
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
正确答案
解：
（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴
∵HE=EC，
∴BF=FD
（2）证明：连接CB、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，
又∵OC为圆O半径
∴CG是⊙O的切线．
（3）解：由FC=FB=FE得：
∠FCE=∠FEC，
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．
由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2②
由①、②得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG1=6，FG2=-2（舍去）
∴AB=BG=4
∴⊙O半径为2
解析
解：
（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴
∵HE=EC，
∴BF=FD
（2）证明：连接CB、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，
又∵OC为圆O半径
∴CG是⊙O的切线．
（3）解：由FC=FB=FE得：
∠FCE=∠FEC，
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．
由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2②
由①、②得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG1=6，FG2=-2（舍去）
∴AB=BG=4
∴⊙O半径为2
正确答案
∵O是△ABC的外心，
∴∠OAE=
∴∠PMB=∠ACB，
∵PB是圆O的切线，
∴∠PBM=∠ACB，
∴∠PMB=∠PBM，
∴PM=PB．
同理PN=PC，
∵PB=PC，
∴PM=PN，
∴AP平分线段MN，
∵EF∥MN，
∴直线AP平分线段EF．
解析
∵O是△ABC的外心，
∴∠OAE=
∴∠PMB=∠ACB，
∵PB是圆O的切线，
∴∠PBM=∠ACB，
∴∠PMB=∠PBM，
∴PM=PB．
同理PN=PC，
∵PB=PC，
∴PM=PN，
∴AP平分线段MN，
∵EF∥MN，
∴直线AP平分线段EF．
（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：AC2=AB•AD．
正确答案
因为OA=OC，
所以∠OCA=∠OAC．（2分）
又因为AD⊥CE，
所以∠ACD+∠CAD=90°，
又因为AC平分∠BAD，
所以∠OCA=∠CAD，（4分）
所以∠OCA+∠CAD=90°，
即OC⊥CE，
所以CE是⊙O的切线．（6分）
（Ⅱ）连接BC，
因为AB是⊙O的直径，
所以∠BCA=∠ADC=90°，
因为CE是⊙O的切线，
所以∠B=∠ACD，（8分）
所以△ABC∽△ACD，
所以
即AC2=AB•AD．（10分）
解析
因为OA=OC，
所以∠OCA=∠OAC．（2分）
又因为AD⊥CE，
所以∠ACD+∠CAD=90°，
又因为AC平分∠BAD，
所以∠OCA=∠CAD，（4分）
所以∠OCA+∠CAD=90°，
即OC⊥CE，
所以CE是⊙O的切线．（6分）
（Ⅱ）连接BC，
因为AB是⊙O的直径，
所以∠BCA=∠ADC=90°，
因为CE是⊙O的切线，
所以∠B=∠ACD，（8分）
所以△ABC∽△ACD，
所以
即AC2=AB•AD．（10分）
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若⊙O的直径为4，AD=3，求∠BAC的度数．
正确答案
解析
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD．
∴∠OCA=∠CAD．
∴OC∥AD．
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD．
∴OC是⊙O的切线．
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠BCA=∠ADC=90°．
∵∠BAC∠=∠CAD，
∴△BAC∽△CAD．
∴
∴AC=2
在Rt△ABC中，cos∠BAC=
∴∠BAC=30°．
正确答案
解析
解：∵EB、EC是⊙O的切线，
∴EB=EC，
又∵∠E=46°，
∴∠ECB=∠EBC=67°，
∴∠BCD=180°-（∠BCE+∠DCF）=180°-99°=81°；
∵四边形ADCB内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-81°=99°．
故选：D．
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