圆内接四边形的性质与判定定理
共255题

圆内接四边形的性质与判定定理
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题型：简答题

简答题

如图，BA是圆O的直径，C、E在圆0上，BC、BE的延长线交直线AD于点D、F，BA2=BC•BD．求证：

（Ⅰ）直线AD是圆O的切线；

（Ⅱ）∠D+∠CEF=180°．

正确答案

证明：（Ⅰ）连AC，

∵BA是圆O的直径，∴∠ACB=90°，

∵BA2=BC•BD，∴，

又∵∠ABC=∠DBA，

∴△ABC∽△DBA，∴∠BAD=∠ACB=90°，

∵OA是圆O的半径，∴直线AD是圆O的切线；…（5分）

（Ⅱ）∵△ABC∽△DBA，∴∠BAC=∠D，

又∠BAC=∠BEC，

∴∠D=∠BEC，

∴四点C、C、E、F四点共圆，∴∠D+∠CEF=180°…（10分）

解析

证明：（Ⅰ）连AC，

∵BA是圆O的直径，∴∠ACB=90°，

∵BA2=BC•BD，∴，

又∵∠ABC=∠DBA，

∴△ABC∽△DBA，∴∠BAD=∠ACB=90°，

∵OA是圆O的半径，∴直线AD是圆O的切线；…（5分）

（Ⅱ）∵△ABC∽△DBA，∴∠BAC=∠D，

又∠BAC=∠BEC，

∴∠D=∠BEC，

∴四点C、C、E、F四点共圆，∴∠D+∠CEF=180°…（10分）

题型：单选题

单选题

图中的同心圆，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB=6，则圆环的面积为（　　）

A9π

B8π

C4π

Dπ

正确答案

解析

解：连接OA、OP；

∵同心圆大⊙O的弦AB切小⊙O于P，

∴∠OPA=90°，AP=AB=3，

∴圆环的面积=πOA2-πOP2=（OA2-OP2）π=9π．

故选A．

题型：简答题

简答题

已知：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，连接DO并延长交AC的延长线于点E，⊙O的切线DF交AC于F点．

（Ⅰ）试证明：AF=CF；

（Ⅱ）若ED=4，，求CE的长．

正确答案

证明：（Ⅰ）设线段FD延长线上一点G，则∠GDB=∠ADF，且，

∴，（2分）

又∵⊙O中OD=OB，

∴∠BDO=∠OBD，

∴，

在Rt△ABC中，

∴，∠A=∠ADF，

∴AF=FD，

又在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，

∴AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，

∴FD=CF，

∴AF=CF．（5分）

（Ⅱ）解：∵直角三角形FED中，ED=4，，

∴，

∴FE=5，（8分）

又FD=3=FC，

∴CE=2．（10分）

解析

证明：（Ⅰ）设线段FD延长线上一点G，则∠GDB=∠ADF，且，

∴，（2分）

又∵⊙O中OD=OB，

∴∠BDO=∠OBD，

∴，

在Rt△ABC中，

∴，∠A=∠ADF，

∴AF=FD，

又在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，

∴AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，

∴FD=CF，

∴AF=CF．（5分）

（Ⅱ）解：∵直角三角形FED中，ED=4，，

∴，

∴FE=5，（8分）

又FD=3=FC，

∴CE=2．（10分）

题型：填空题

填空题

如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E．若∠BCD=110°，则∠DBE=______．

正确答案

70°

解析

解：∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，

∴∠BCD+∠A=180°．

∵∠BCD=110°，∴∠A=70°．

∵BE是⊙O的切线，

∴∠DBE=∠A=70°．

故答案为：70°．

题型：填空题

填空题

如图，点P在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2PA，PC切⊙O于点C，连接BC．

（1）求∠P的正弦值；

（2）若⊙O的半径r=2cm，求BC的长度．

正确答案

解析

解：（1）连接OC，

∵PC切⊙O于点C，

∴PC⊥OC

又∵AB=2PA

∴OC=AO=AP=PO

∴∠P=30°

∴sin∠P=；

（2）连接AC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠COA=90°-30°=60°，

又∵OC=OA，

∴△CAO是正三角形．

∴CA=r=2，

∴CB=．

题型：填空题

填空题

如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，CD交BA的延长线于点E．若AB=3，ED=2，则BC的长为______．

正确答案

解析

解：连接OD

∵CD切⊙O于点D，

∴ED2=EA•EB，

∵ED=2，AB=3，设EA=x，

∴4=x（x+3）

∴x=1，

在△EOD和△ECB中，

，

∴

∴BC=3

故答案为：3

题型：单选题

单选题

如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．若∠CAE=130°，则∠DAE=（　　）度．

A65

B55

C45

D75

正确答案

解析

解：连OD，如图，

∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

又∵DE⊥EF，

∴OD∥EF，

∴∠DOA+OAE=180°；

而∠CAE=130°，

∴∠DOA=50°，

∴∠ADO==65°，

∴∠DAE=65°．

故选A．

题型：填空题

填空题

如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=9，C是圆上一点使得BC=4，∠BAC=∠APB，则AB=______．

正确答案

解析

解：∵∠BAC=∠APB，

∠C=∠BAP，

∴△PAB∽△ACB，

∴

∴AB2=PB•BC=9×4=36，

∴AB=6，

故答案为：6．

题型：简答题

简答题

如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．

（1）求证：△DEF～△DHG；

（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．

正确答案

解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，

∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，

∴DE×DG=DF×DH，

∴，

又∵∠EDF=∠HDG，

∴△DEF∽△DHG．（4分）

（2）连接O1A，O2A，

∵AD是两圆的公切线，

∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，

∴O1O2共线，

∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，

∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）

设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，

∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，

∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）

∴DE=6x，DF=4x，∴．（10分）

解析

解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，

∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，

∴DE×DG=DF×DH，

∴，

又∵∠EDF=∠HDG，

∴△DEF∽△DHG．（4分）

（2）连接O1A，O2A，

∵AD是两圆的公切线，

∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，

∴O1O2共线，

∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，

∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）

设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，

∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，

∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）

∴DE=6x，DF=4x，∴．（10分）

题型：简答题

简答题

设四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上并且与四边形的其余三边相切．证明：AD+BC=AB．

正确答案

解：设E、F、G为三边的切点，将△OFC绕O点旋转到△OEH，H在射线ED上，

设θ=∠OCF=∠OHE=∠OCG，

∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠A=180°-2θ，∠AOH=180°-（θ+180°-2θ）=θ=∠AHO，

因此，OA=AH=AE+FC=AE+GC…①

用同样的方法，即将△OFD绕O点顺时针旋转到△OGK，K在GC上，

得到OB=BK=BG+FD=BG+ED…②，

①+②得AB=AD+BC．

解析

解：设E、F、G为三边的切点，将△OFC绕O点旋转到△OEH，H在射线ED上，

设θ=∠OCF=∠OHE=∠OCG，

∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠A=180°-2θ，∠AOH=180°-（θ+180°-2θ）=θ=∠AHO，

因此，OA=AH=AE+FC=AE+GC…①

用同样的方法，即将△OFD绕O点顺时针旋转到△OGK，K在GC上，

得到OB=BK=BG+FD=BG+ED…②，

①+②得AB=AD+BC．

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