三角恒等变换_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

16.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

正确答案

知识点

三角函数恒等式的证明弦切互化正弦定理的应用余弦定理的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设△ABC的内角A,B,C的对边分别为，.

18.证明：;

19.若 ,且B为钝角，求A,B,C.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

由及正弦定理得，所以。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察正弦定理及其应用，意在考察考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

由题及正弦定理得可得。

易错点

不会想到切割化弦；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

,,.

解析

因为，所以，

由（1）知，因此，又B为钝角，所以，

故，由知，从而，

综上所述，,,.

考查方向

本题主要考察正弦定理及其应用，意在考察考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

由两角和与差的公式化简得，结合（1）得，又B为钝角，所以求出角，进而可以求出角A,C。

易错点

做第（2）问时联系不上第（1）问的结论。

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知α为锐角，cos(α＋)＝．

15.求tan(α＋)的值；

16.求sin(2α＋)的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）2 ；

解析

解：（1）因为α∈(0，），所以α＋∈(，)，

所以sin(α＋)＝＝，

所以tan(α＋)＝＝2．

考查方向

本题考查了三角恒等变换给值求值问题，要特别注意角的范围

解题思路

本题考查三角恒等变换，解题步骤如下：

1）利用平方关系求出sin(α＋)，然后利用商的关系求出tan(α＋)；

2）利用已知角表示未知角sin(2α＋)＝sin[2(α＋)]＝2 sin(α＋) cos(α＋)，直接求解即可；

易错点

忽略角的范围取值和角与角的关系

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

解：

（2）因为sin(2α＋)＝sin[2(α＋)]＝2 sin(α＋) cos(α＋)＝，

cos(2α＋)＝cos[2(α＋)]＝2 cos2(α＋)－1＝－，

所以sin(2α＋)＝sin[(2α＋)－]＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝．

考查方向

本题考查了三角恒等变换给值求值问题，要特别注意角的范围

解题思路

本题考查三角恒等变换，解题步骤如下：

1）利用平方关系求出sin(α＋)，然后利用商的关系求出tan(α＋)；

2）利用已知角表示未知角sin(2α＋)＝sin[2(α＋)]＝2 sin(α＋) cos(α＋)，直接求解即可；

易错点

忽略角的范围取值和角与角的关系

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．在中，角的对边分别为，若，

则_______________

正确答案

解析

因为，所以又，

所以=，所以填

考查方向

余弦定理；解直角三角形

解题思路

先根据余弦定理表示出的式子，然后结合已知条件，求解

易错点

利用定理进行恒等变换时错误

知识点

三角函数恒等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数（）.

（1）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；

（2）若存在，使，求a的取值范围。

正确答案

（1）最小值为

（2）的取值范围是

解析

（1） …………………………. ……………1分

根据题意， …………………3分

此时，,则.

令

…………………………………………………………………………………………. 6分

∴当时，最小值为. ………………………7分

（2）

①若上单调递减.

又

…………………………………………..10分

②若

从而在（0，上单调递增，在（，+上单调递减.

根据题意， …………….............................. 13分

综上，的取值范围是.

知识点

三角函数恒等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数.

（1）求的值和的最小正周期；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

正确答案

（1）；

（2）；2

解析

（1）因为

………………2分

………………4分

………………6分

所以 ………………7分

所以的周期为 ………………9分

（2）当时，，

所以当时，函数取得最小值 ………………11分

当时，函数取得最大值 ………………13分

知识点

三角函数恒等式的证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（） .

正确答案

解析

略

知识点

三角函数恒等式的证明

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

化简sin2013°的结果是（　　）

Asin33°

Bcos33°

C﹣sin33°

D﹣cos33°

正确答案

C

解析

sin2013°=sin（360°×5+213°）=sin213°=sin（180°+33°）=﹣sin33°。

故选C

知识点

三角函数恒等式的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数

（1）求的最小正周期和值域；

（2）在中，角所对的边分别是，若且，试判断

的形状。

正确答案

见解析。

解析

（1）

……………………………………………………….3分

……………………………………………………………4分

所以,…………………………………………………………………5分

……………………………………………………………6分

﹙2﹚由，有，

所以 ……………………………………………………………7分

因为，所以,即. …………………………………8分

由余弦定理及，所以.……………10分

所以所以.……………………………………………………11分

所以为等边三角形. ………………………………………………………12分

知识点

弦切互化

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知为第三象限的角，,则。

正确答案

解析

【解析1】因为为第三象限的角,所以，又<0, 所以,于是有,

,所以.

【解析2】为第三象限的角，，

在二象限，

知识点

弦切互化

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正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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