三角恒等变换
共864题

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题型：填空题

填空题 · 4 分

在锐角中,，三角形的面积等于，则的长为___________.

正确答案

解析

略

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

（１）试判断函数的单调性，并说明理由；

（２）若恒成立，求实数的取值范围；

（３）求证： .

正确答案

见解析。

解析

（1）故在递减

（2）记

再令在上递增。

，从而故在上也单调递增

（3）方法1：由（2）知：恒成立，即

令则

，，

叠加得：

方法2：用数学归纳法证明（略）。

知识点

诱导公式的推导

题型：填空题

填空题 · 5 分

圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是　。

正确答案

（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

解析

圆心到直线的距离就是圆的半径：r==。

所以圆的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数（）在一个周期上的一系列对应值如下表：

（1）求f(x)的解析式；

（2）在△ABC中，AC=2,BC=3,A为锐角，且,求△ABC的面积.

正确答案

见解析。

解析

（1）， …………………………6分

（2）

…………………9分

…………………………12分

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 10 分

在中，，是的平分线，的外接圆交边于点，求证：。

正确答案

见解析。

解析

。在中，因为是的平分线，

所以。

又，所以， ①

因为与是圆过同一点的弦，

所以，，即， ②

由①、②可知，

所以。

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 12 分

在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q,已知:＝1:2, :＝3:2,连结AQ、BP,设它们交于点R,若＝a，＝b.

（1）用a与 b表示；

（2）过R作RH⊥AB,垂足为H,若| a|＝1, | b|＝2, a与 b的夹角的范围。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1）由＝a，点P在边OA上且:＝1:2，

可得(a－), ∴a. 同理可得b. ……2分

设,

则＝a＋b－a)＝(1－)a＋b,

＝b＋a－b)＝a＋(1－)b. ……4分

∵向量a与b不共线, ∴

∴a＋b. ………………5分

（2）设,则(a－b),

∴(a－b)－ (a＋b)＋b

＝a＋(b. ………………6分

∵, ∴,即[a＋(b]·(a－b)＝0

a2＋(b2＋a·b＝0………………8分

又∵|a|＝1, |b|＝2, a·b＝|a||b|,

∴

∴.………………10分

∵, ∴, ∴5－4,

∴.

故的取值范围是.………………12分

知识点

诱导公式的推导

题型：单选题

单选题 · 5 分

在等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起后所在的平面记为，，设与所成的角分别为均不为0，若，则点的轨迹为（）

A直线

B圆

C椭圆

D抛物线

正确答案

解析

如图，过作于，过作于，易知平面，平面，则，由，可得，故定值，且此定值不为1，

故点的轨迹为圆。（到两定点的比为不为1定值的点的轨迹为圆――――阿波罗尼斯圆）

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 14 分

在△ABC中，角A、B、C的所对应边分别为a,b,c，且

（1）求c的值；

（2）求的值。

正确答案

见解析

解析

解：（1）根据正弦定理，,所以

（2）根据余弦定理，得

于是，从而

所以

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 14 分

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。

（1）若cos（A+）=sinA，求A的值；

（2）若cosA=，4b=c，求sinB的值。

正确答案

见解析

解析

（1）在△ABC中，若cos（A+）=sinA，则有 cosAcos﹣sinAsin=sinA，

化简可得cosA=sinA，显然，cosA≠0，故 tanA=，所以A=。

（2）若cosA=，4b=c，由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，解得 a=b。

由于sinA==，再由正弦定理可得，解得sinB=。

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

简答题 · 12 分

设数列的前n项和为，，当时，.

（1）若，求及;

（2）求的通项公式.

正确答案

见解析

解析

（1）在中取得，，.

由得

相减可得，即当时.

可见，;

…………………5分

（2）由得相减可得，

即当时,.其中,

① 若，则由知第二项之后是公差为的等差数列，但，

故是等差数列，

② 若，则

③ 若，，则由可得.

于是当时，是一个公比为的等比数列.

即（）.

也适合上式，故的通项公式为. ……………12分

知识点

诱导公式的推导

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