空间向量的正交分解及其坐标表示
共141题

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题型：简答题

简答题

（1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标；

（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得=（-）；

（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值；

③确定，的值使得a+b与z轴垂直，且（a+b）·（a+b）=53.

正确答案

（1）（-4，2，-4）（2）P点坐标为(5，，0)（3）

（1）∵x与a共线，故可设x=ka，

由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k（）2=9k，

∴9k=-18，故k=-2.

∴x=-2a=（-4，2，-4）.

（2）设P（x，y，z），则=（x-2，y+1，z-2），

=（2，6，-3），=（-4，3，1），

∵=（-）.

∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］

=（6，3，-4）=(3，，-2)

∴，解得

∴P点坐标为(5，，0).

（3）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）

=3×2+5×1-4×8=-21.

②∵|a|==5,

|b|==,

∴cos〈a,b〉= ==-.

∴a与b夹角的余弦值为-.

③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.

依题意

即

故解得.

题型：填空题

填空题

[2014·泉州模拟]如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．

正确答案

(1,1,1)

设PD＝a，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，

P(0,0，a)，E(1,1，)，

∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)．

由cos〈，〉＝，∴＝a·，

∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．

题型：填空题

填空题

在空间直角坐标系中，已知M（2，0，0），N（0，2，10），若在z轴上有一点D，满足，则点D的坐标为．

正确答案

（0，0，5 ）

试题分析：由D在z轴上可设,再由两点间距离公式,

,因为所以,故

题型：填空题

填空题

已知为单位正交基，且，则向量的坐标是______________________．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

在四棱锥中，//，，，平面，.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

正确答案

（1）见解析（2），（3）

试题分析：（1）建立如图所示坐标系，

写出坐标，可得坐标，由＝，＝知，.所以平面；（2）由向量的夹角可知异成直线与所成角；（3）为线段上一点，设其中可得，由直线与平面所成角的正弦值为，利用与平面的法向量夹角,可得.其中为直线与平面所成角.．即 .

试题解析：（1）证明：因为，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，１分

则，，，.

所以，，

，２分

所以，

所以，.

因为，平面，

平面，

所以平面. ４分

（2），５分

异成直线与所成角的余弦值 8分

（3）解：设（其中），，直线与平面所成角为.

所以 .所以 .

所以即. ９分

所以 .

平面的一个法向量为. １０分

因为，

所以 . １１分

解得 .所以 . 12分

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