- 空间向量的正交分解及其坐标表示
- 共141题
(1)求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标;
(2)已知A、B、C三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求点P的坐标使得=
(
-
);
(3)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),求:①a·b;②a与b夹角的余弦值;
③确定,
的值使得
a+
b与z轴垂直,且(
a+
b)·(a+b)=53.
正确答案
(1)(-4,2,-4)(2)P点坐标为(5,,0)(3)
(1)∵x与a共线,故可设x=ka,
由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k()2=9k,
∴9k=-18,故k=-2.
∴x=-2a=(-4,2,-4).
(2)设P(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-2),
=(2,6,-3),
=(-4,3,1),
∵=
(
-
).
∴(x-2,y+1,z-2)=[(2,6,-3)-(-4,3,1)]
=(6,3,-4)=(3,
,-2)
∴,解得
∴P点坐标为(5,,0).
(3)①a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)
=3×2+5×1-4×8=-21.
②∵|a|==5
,
|b|==
,
∴cos〈a,b〉= =
=-
.
∴a与b夹角的余弦值为-.
③取z轴上的单位向量n=(0,0,1),a+b=(5,6,4).
依题意
即
故 解得
.
[2014·泉州模拟]如图,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,
〉=
,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.
正确答案
(1,1,1)
设PD=a,
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
P(0,0,a),E(1,1,),
∴=(0,0,a),
=(-1,1,
).
由cos〈,
〉=
,∴
=a
·
,
∴a=2.∴E的坐标为(1,1,1).
在空间直角坐标系中,已知M(2,0,0),N(0,2,10),若在z轴上有一点D,满足,则点D的坐标为 .
正确答案
(0,0,5 )
试题分析:由D在z轴上可设,再由两点间距离公式
,
,因为
所以
,故
已知为单位正交基,且
,则向量
的坐标是______________________.
正确答案
略
在四棱锥中,
//
,
,
,
平面
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值;
(3)设点为线段
上一点,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
正确答案
(1)见解析(2),(3)
试题分析:(1)建立如图所示坐标系,
写出坐标,可得
坐标,由
=
,
=
知
,
.所以
平面
;(2)由
向量的夹角可知异成直线
与
所成角;(3)
为线段
上一点,设
其中
可得
,由直线
与平面
所成角的正弦值为
,利用
与平面
的法向量
夹角,可得
.其中
为直线
与平面
所成角.
.即
.
试题解析:(1)证明:因为,
,所以以
为坐标原点,
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系, 1分
则,
,
,
.
所以 ,
,
, 2分
所以,
.
所以 ,
.
因为 ,
平面
,
平面
,
所以 平面
. 4分
(2) ,
5分
异成直线
与
所成角的余弦值
8分
(3)解:设(其中
),
,直线
与平面
所成角为
.
所以 .所以
.
所以 即
. 9分
所以 .
平面的一个法向量为
. 10分
因为 ,
所以 . 11分
解得 .所以
. 12分
扫码查看完整答案与解析