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题型:简答题
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简答题

(1)求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标;

(2)已知A、B、C三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求点P的坐标使得=-);

(3)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),求:①a·b;②a与b夹角的余弦值;

③确定的值使得a+b与z轴垂直,且(a+b)·(a+b)=53.

正确答案

(1)(-4,2,-4)(2)P点坐标为(5,,0)(3)

 (1)∵x与a共线,故可设x=ka,

由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k(2=9k,

∴9k=-18,故k=-2.

∴x=-2a=(-4,2,-4).

(2)设P(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-2),

=(2,6,-3),=(-4,3,1),

=-).

∴(x-2,y+1,z-2)=[(2,6,-3)-(-4,3,1)]

=(6,3,-4)=(3,,-2)

,解得

∴P点坐标为(5,,0).

(3)①a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)

=3×2+5×1-4×8=-21.

②∵|a|==5,

|b|==,

∴cos〈a,b〉= ==-.

∴a与b夹角的余弦值为-.

③取z轴上的单位向量n=(0,0,1),a+b=(5,6,4).

依题意 

 解得.

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题型:填空题
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填空题

[2014·泉州模拟]如图,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈〉=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.

正确答案

(1,1,1)

设PD=a,

则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),

P(0,0,a),E(1,1,),

=(0,0,a),=(-1,1,).

由cos〈〉=,∴=a·

∴a=2.∴E的坐标为(1,1,1).

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题型:填空题
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填空题

在空间直角坐标系中,已知M(2,0,0),N(0,2,10),若在z轴上有一点D,满足,则点D的坐标为                  

正确答案

(0,0,5 )

试题分析:由D在z轴上可设,再由两点间距离公式,

,因为所以,故

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题型:填空题
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填空题

已知为单位正交基,且,则向量的坐标是______________________.

正确答案

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题型:简答题
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简答题

在四棱锥中,//平面.

(1)求证:平面

(2)求异面直线所成角的余弦值;

(3)设点为线段上一点,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.

正确答案

(1)见解析(2),(3)

试题分析:(1)建立如图所示坐标系,

写出坐标,可得坐标,由.所以平面;(2)由向量的夹角可知异成直线所成角;(3)为线段上一点,设其中可得,由直线与平面所成角的正弦值为,利用与平面的法向量夹角,可得.其中为直线与平面所成角..即 .

试题解析:(1)证明:因为,,所以以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,     1分

.

所以

,              2分

所以

.

所以 .

因为 平面

平面

所以 平面. 4分

(2)  5分

异成直线所成角的余弦值 8分

(3)解:设(其中),,直线与平面所成角为.

所以 .所以 .

所以 .      9分

所以 .

平面的一个法向量为.      10分

因为

所以 .  11分

解得 .所以 .        12分

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