平面向量_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t），若•=0，则t=　　。

正确答案

2

解析

∵，，∴=0，

∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2。

知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知向量a=（cosα，﹣2），b=（sinα，1），且a∥b，则tan等于（　　）

A3

B﹣3

C

D

正确答案

B

解析

根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cosα，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果。

解：∵，

∴cosα+2sinα=0，

∴tanα=，

∴tan（）

=

=﹣3，

故选B

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知向量，，。

（1）若∥，求角的大小；

（2）若，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为，所以，即，

所以，又，所以，

（2）因为，所以，化简得，

又，，则，，

所以，则，

又，，

所以。

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的序号是（）。

①若与共线，则 ②

③对任意的，有 ④

A②

B①②

C②④

D③④

正确答案

A

解析

若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项②错误，故选A。

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知平面向量，，且//，

则＝ .

正确答案

解析

由//可知m=-4,，则＝.

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图1，在正六边形ABCDEF中，向量和( )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知向量，，则在方向上的投影等于。

正确答案

解析

在方向上的投影为。

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知平面向量，，满足，，，的夹角等于，且，则的取值范围是。

正确答案

解析

如图，设△ABC中，由余弦定理得，由知，点的轨迹是以为直径的圆，且，故；

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当＜时，求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意知，所以，即，，。 2分

又因为，所以，，故椭圆的方程为，，，，。4分

（2）由题意知直线的斜率存在.

设：，，，，

由得.

，.

，.，，，，，，，，，。6分

∵，∴，，

.

∵点在椭圆上，∴，∴，，，，，，，，，。8分

∵＜，∴，∴

∴，

∴，∴.，，，，，。10分

∴，∵，∴，

∴或，∴实数取值范围为. 12分

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设A、P是椭圆两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP、BP分别交x轴于点M、N，则

A0

B1

C

D2

正确答案

D

解析

不妨设点P是椭圆的右顶点，即P，因为A,B关于x轴对称，所以直线AP、BP与x轴的交点都是点P，即M,N,P重合，则=，

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知正三角形ABC中,D是BC的中点,AB=3,BD=1,则=

正确答案

解析

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆的右焦点为，离心率，是椭圆上的动点。

（1）求椭圆标准方程；

（2）若直线与的斜率乘积，动点满足,（其中实数为常数）。问是否存在两个定点,，使得为定值？若存在，求,的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若点在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接并延长交椭圆于点，证明：。

正确答案

见解析。

解析

（1）有题设可知：∴ (2分)

又，∴，(3分)

∴椭圆标准方程为（4分）

（2）设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由得

(x，y)＝(x1，y1)＋ (x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)，

即x＝x1＋x2，y＝y1＋y2. （5分）

因为点A、B在椭圆x2＋2y2＝2上，

所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，（6分）

故x2＋2y2＝(x＋x＋2x1x2)＋2(y＋y＋2y1y2)

＝(x＋2y)＋ (x＋2y)＋2 (x1x2＋2y1y2)

＝2＋2+2 (x1x2＋2y1y2)。

设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，

由题设条件知kOA·kOB＝＝，

因此x1x2＋2y1y2＝0，

所以x2＋2y2＝2＋2. 即(7分)

所以P点是椭圆上的点，

设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，

则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值。

又因c＝

因此两焦点的坐标为F1(－，0)，F2(，0)。

所以存在两个定点F1(－，0)，F2(，0)，使得|PF1|＋|PF2|

（8分）

（Ⅲ）设，有题设可知：

由题意可知：

，∴③（9分）

④（10分）

将③代入④可得：⑤

点A，D在椭圆x2＋2y2＝2上，

∴（11分）

∴，∴ （12分）

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知平面向量满足，，那么 ____.

正确答案

答案：

解析

略

知识点

数量积表示两个向量的夹角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．已知：向量、满足||＝1，||＝，

（1）若//，求：的值；

（2）若，的夹角为135°，求 |＋| ．

正确答案

（1）∵//，

①若，共向，则＝||·||＝

②若，异向，则＝－||·||＝－

（2）∵，的夹角为135°，

∴ ＝||·||·cos135°＝－1

∴|＋|2＝（＋）2 ＝2＋2＋2＝1＋2－2＝1
　　 ∴

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

向量的模平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2．已知向量, 都是非零向量，设：，：与的夹角是锐角，则是的（）

A充要条件

B充分不必要条件

C必要不充分条件

D既不充分又不必要条件

正确答案

C

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

充要条件的判定平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

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正确答案

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