平面向量的线性运算
共263题

平面向量的线性运算
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题型：填空题

填空题

非零向量，则的夹角为__________.

正确答案

1200

解：因为非零向量，利用向量加法的几何意义可知，则的夹角为1200

题型：简答题

简答题

如图，四边形是一个梯形，∥，且，、分别是、的中点，已知=,=,试用、分别表示、。

正确答案

由∥，且得；

。

题型：填空题

填空题

化简=___________。

正确答案

试题分析：根据题意，由于=,故答案为

点评：解决的关键是利用三角形法则或者是平行四边形法则来求解向量的运算，属于基础题。

题型：填空题

填空题

设向量，若a//b，则实数t的值是_______.

正确答案

考查平面向量的坐标运算及共线性质。由2t-18=0可以解t=9

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q,已知:＝1:2, :＝3:2,连结AQ、BP,设它们交于点R,若＝a，＝b. （Ⅰ）用a与 b表示；

（Ⅱ）过R作RH⊥AB,垂足为H,若| a|＝1, | b|＝2, a与 b的夹角的范围.

正确答案

(Ⅰ) a＋b (Ⅱ)

：（1）由＝a，点P在边OA上且:＝1:2，

可得(a－), ∴a. 同理可得b. ……2分

设,

则＝a＋b－a)＝(1－)a＋b,

＝b＋a－b)＝a＋(1－)b. ……4分

∵向量a与b不共线, ∴ ∴a＋b.…5分

(2)设,则(a－b),

∴(a－b)－ (a＋b)＋b

＝a＋(b. ……6分

∵, ∴,即[a＋(b]·(a－b)＝0

a2＋(b2＋a·b＝0………………8分

又∵|a|＝1, |b|＝2, a·b＝|a||b|,

∴

∴.………10分

∵, ∴, ∴5－4,

∴.故的取值范围是.…12分

题型：简答题

简答题

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）

如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，，其中，．

（1）求表达式的值，并说明理由；

（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值．

正确答案

(Ⅰ) 3 (Ⅱ) 或

（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心

F为BC的中点，则有

，，

　即………………………………3分

D、G、E三点共线

故＝3 ………………………………6分

（2）△ABC是边长为1的正三角形，

， S＝mn…………………8分

由=3，0＜m1,01n=,　　即。………10分

S＝mn＝

设t=m-则m=t+（）S=mn=（t++）……………12分

　易知在为减函数，在为增函数。

t=，即，时，取得最小值，

即S取得最小值…………………14分

又，取得最大值是，

则S取得最大值，此时或…………………16分

题型：填空题

填空题

若向量则 .

正确答案

（-2，-4）

试题分析：因为所以.

题型：填空题

填空题

若|a+b|=|a-b|，则a与b的夹角为_______________.

正确答案

90°

解：因为|a+b|=|a-b|，利用向量的几何意义可知，a与b的夹角为90°

题型：填空题

填空题

如图，在ΔABC中，=

正确答案

此题考查向量加法和数量积的运算；设所以，又因为与的夹角等于，所以在，

所以

题型：填空题

填空题

设向量=（-1，2），=（2，-l），则（•）（+）等于 ______．

正确答案

∵=（-1，2），=（2，-l），

∴•=-1×2+2×（-1）=-4

+=（-1+2，2-1）=（1，1）

∴（•）（+）=-4×（1，1）=（-4，-4）

故答案为：（-4，-4）

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