平面向量的线性运算
共263题

平面向量的线性运算
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题型：填空题

填空题

在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）

正确答案

解：，，所以。

题型：简答题

简答题

如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.

正确答案

=d-c，=c-d

方法一设=a，=b，

则a=+=d+

b=+=c+

将②代入①得a=d+

a=-c,代入②

得b=c+c-d

即=d-c，=c-d

方法二设=a，=b.

因M，N分别为CD，BC的中点，

所以=b，=a，

因而,

即=(2d-c), =(2c-d).

题型：填空题

填空题

给出下列命题中:① 向量满足，则与的夹角为；②是的夹角为锐角的充要条件；③ 将函数的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式为，其中正确的命题有_______。

正确答案

①③

试题分析：根据向量加减法的几何意义画出图象知①正确；②中应有为非零向量，否则不成立；由图象的平移知③正确.

点评：研究向量问题是，一定要注意分清向量的夹角是所看到的角还是它的补角，此处很容易因忽略而出错，应认真对待.

题型：填空题

填空题

已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=

正确答案

-1

略

题型：填空题

填空题

设点是线段的中点，点在直线外，中边上的高为,且则的最大值为_____________.

正确答案

设.

题型：简答题

简答题

如图所示，在△ABO中，=,=,AD与BC相交于点M，设=a，=b.试用a和b表示向量.

正确答案

=a+b

设=ma+nb，

则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.

=-=-=-a+b.

又∵A、M、D三点共线，∴与共线.

∴存在实数t,使得=t，

即(m-1)a+nb=t(-a+b). 4分

∴(m-1)a+nb=-ta+tb.

，消去t得：m-1=-2n.即m+2n="1. " ① 6分

又∵=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.

=-=b-a=-a+b.

又∵C、M、B三点共线，∴与共线. 10分

∴存在实数t1,使得=t1,

∴(m-)a+nb=t1,∴，

消去t1得,4m+n="1 " ② 12分

由①②得m=,n=,

∴=a+b. 14分

题型：填空题

填空题

如图，是边长为的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则

正确答案

解：因为,结合向量的数量积得到1。

题型：简答题

简答题

如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示，，+.

正确答案

=-a+b+c，=a-b-c.+= a-2b-c.

=++=-a+b+c，

∵=++，

∴=-,=-,=,

∴=a-b-c.

+=+++=2=a-2b-c.

题型：简答题

简答题

已知向量，求满足的实数的取值范围

正确答案

.………………… 3分

所以,

所以 ……………………6分

解得或.

不等式成立的x的取值范围是

略

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

（1）求证：A＝B；（2）求边长c的值；（3）若求△ABC的面积．

正确答案

(Ⅰ) A＝B (Ⅱ) （III）

：（1）∵ ∴bccosA＝accosB，即bcosA＝acosB．-------2

由正弦定理得　sinBcosA＝sinAcosB, ∴sin(A－B)＝0．---------------3

∵－π＜A－B＜π, ∴A－B＝0，∴A＝B.----------------------4

（2）∵ ∴bccosA＝1. 由余弦定理得，即b2＋c2－a2＝2.----6

∵由（1）得a＝b，∴c2＝2，∴. ------8

（3）∵＝，∴ 即c2＋b2＋2＝6,--------10

∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2, ∴b2＝2，即b＝. ∴△ABC为正三角形. -----------11

∴-----12

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