- 直线与平面垂直的判定与性质
- 共118题
如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,已知,为线段的中点。
(1)求证:平面;
(2)求四棱锥的体积。
正确答案
见解析
解析
证明:(1) 连结和交于,连结
为正方形,为中点,为中点,,
平面,平面
平面,
(2) 作于
平面,平面,,
为正方形,,平面,
平面,
,,
平面
平面,平面,,,
,
四棱锥的体积
知识点
如图,将边长为2的正方形沿对角线对折,使得平面平面,点是中点,点满足:,且。
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求三棱锥的体积。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)在正方形中,,
∵平面平面,交线是,
∴平面,∵,∴平面,
(2)
分别取、的中点是,连结,
则,,
又,,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∵,∴,
又平面,∴平面;
(3)∵,平面,
∴。
知识点
如图,在三棱柱中,侧面底面,,,,为中点。
(1)证明:平面;
(2)若是线段上一点,且满足,求的长度。
正确答案
见解析。
解析
(1) ,且为中点,
,又侧面底面,交线为,,
平面. (6分)
(2),因此,即,又在中,,,可得,则的长度为. (12分)
知识点
如图,多面体ABCDEFG中,四边形ABCD,CDEF都是边长为2的正方形,DE⊥平面ABCD,AG⊥平面ABCD,且AG=1。
(1)若P是BC的中点,证明AP∥平面BFG;
(2)求四面体ABEG的体积。
正确答案
见解析。
解析
(1)取BF中点Q,连PQ、GQ,则PQ∥CF,且PQ=CF=AG=1,
∵CDEF是正方形,DE⊥平面ABCD,
∴ CF⊥平面ABCD,
∴PQ⊥平面ABCD,
又AG⊥平面ABCD,
∴PQ∥AG,APQG为矩形,
∴AP∥GQ
∵QG平面BFG,AP平面BFG,
∴AP∥平面BFG
(2)∵AG⊥平面ABCD,∴AG⊥AD,
又ABCD是矩形,∴AB⊥AD
从而AD⊥平面ABG
又DE⊥平面ABCD,∴AG∥DE
∴
知识点
如图,四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,,侧面⊥底面,且为等腰直角三角形,,为的中点。
(1)求证:⊥;
(2)求证:∥平面。
正确答案
见解析。
解析
(1)取的中点,连,因为,,
所以⊥,⊥,且,
所以⊥面,因为面,所以⊥
(2)
取的中点,连,因为为中点,所以∥,又因为∥且,
所以四边是平行四边形,所以∥,又,
,所以,面∥平面,又面,所以∥平面。
知识点
如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,,,,。
(1)求证:;
(2)当时,求此四棱锥的表面积。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:由题意知 则
(4分)
(2)
∴.
.(6分)
过D作DH⊥BC于点H,连结PH,则同理可证明,
并且.
(8分)
易得
.
.(11分)
故此四棱锥的表面积
(12分)
知识点
如图所示,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,AB = 1,,点F是PB的中点,点E在边BC上移动。
(1)若,求证:;
(2)若二面角的大小为,则CE为何值时,三棱锥的体积为.
正确答案
见解析
解析
(1)证明:,为PB中点,
∴ 1分
又⊥平面,∴ 2分
又是矩形,∴ 3分
∴,而 4分
∴,∴ 5分
而,∴ 6分
(2)由(1)知:且 7分
∴为二面角的一个平面角,则=60° 8分
∴ 9分
∴,解得 11分
即时,三棱锥的体积为 12分
知识点
17.如图,为圆的直径,点在圆上,,矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直,且。
(1)求证:;
(2)设的中点为,求证:;
(3)设平面将几何体分成的两个椎体的体积分别为。
正确答案
解析
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知识点
18. 如图,正方形所在平面与三角形所在平面相交于,平面,且,.
(1)求证:平面;
(2)求凸多面体的体积.
正确答案
解析
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知识点
17.已知在四棱锥P - ABCD中,底面 ABCD是矩形,平面ABCD,AB= 2,PA=AD=1,E,F分别是AB、PD 的中点.
(1)求证:AF平面PDC;
(2)求三棱锥B-PEC的体积;
(3)求证:AF//平面PEC
正确答案
解析
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知识点
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