直线与平面垂直的判定与性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

2.两个面垂直，经过第一个面内一点且垂直于交线的直线（）

A垂直于第二个平面内

B与第二个平面相交

C平行于第二个平面

DA、B、C均有可能

正确答案

D

解析

因为经过第一个面内一点且垂直于交线的直线有三种情况，分别是与第二个平面垂直、相交、平行，所以选D.

知识点

空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）

A若a∥α，b∥α，则a∥b

B若a⊥α，a∥b，则b⊥α

C若a⊥α，a⊥b，则b∥α

D若a∥α，a⊥b，则b⊥α

正确答案

B

解析

对于A答案，直线a与b可以相交，也可以异面，也可以平行；

对于B答案，b和a垂直，但是和平面α的关系不能确定，也可以在平面α内；

对于D答案，b和a垂直，但是和平面α的关系不能确定，可以和平面α斜交。

所以，A选项不正确， C选项不正确，D选项不正确，B选项正确。

考查方向

本题主要考查了立体几何的有关知识：空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系等。

解题思路

1.对每一个选项进行判断即可；

2.也可以画出图形，直接判断。

A选项不正确， C选项不正确，D选项不正确，B选项正确。

易错点

本题在线线平行、线面平行，线线垂直、线面垂直上容易混淆。有些关系没有考虑到导致出错。

知识点

异面直线及其所成的角直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．如图，四棱锥S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1，DC=SD=2，M．N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE=2EB．

(I)证明：MN//平面ABCD；

(II)证明：DE⊥平面SBC．

正确答案

略，详见解析；

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，具体解析如下：

证明：（Ⅰ）连，∵分别为的中点，

∴

又∵平面

平面

∴平面

(Ⅱ) 连，∵，

∴

又底面，底面

∴

∵，∴平面

∵平面，∴

又，

当时，，

在与中，，，

∴

又，∴

∴，即

∵，

∴平面．

考查方向

本题考查了立体几何的相关知识，大体可以分成以下几类：

1、考察线面平行的判定，由线线平行得到MN//平面ABCD；

2、线线垂直的判定；

3、三角形相似的判定；

4、线面垂直的判定等．

解题思路

本题考查立体几何中的线面平行、线面垂直，解题步骤如下：

1、由线线平行得到MN//平面ABCD；

2、在三角形中利用勾股定理判定线线垂直；

3、三角形相似得出线段成比例，再次得到三角形相似；

4、得到角相等之后再次判定三角形相似，进而得到线线垂直，最后根据线面垂直的判定得到答案。

易错点

1、线面平行的判定条件没有写全；

2、找不到线线垂直的两条直线；

3、线线垂直得到线面垂直时条件遗漏。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD＝60°，PB＝2√3，PA＝ED＝2AE＝2．（1）若 =λ（λ∈R），且PA∥平面，求λ的值；（2）求证：平面；(3)求直线PB与平面ABCD所成的角．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）连接交于点，连接.

因为平面，平面平面，

所以.

因为，所以.

所以.

（2）因为

所以.

又平面平面，且平面平面,

平面．

（3）由（2）知，平面

∴　∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，

在RtΔPEB中，

，

60°，

直线PB与平面ABCD所成的角为60°．

考查方向

本题考查了立体几何中的线面位置关系的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何中的线面位置关系，解题步骤如下：1、利用线面平行的性质定理。2、利用线面垂直的定义及判定定理转化。

易错点

1、第一问中的线线平行的判定。2、第二问中求证线面垂直时要与平面内的两条相交直线垂直。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图，在三棱锥中，,在底面上的射影为，，于

20.求证：平面平面；

21.若，，求直线与平面所成的角的正弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

如图，由题意知平面

所以，又

所以平面，

又平面所以平面平面

考查方向

本考查了空间想象力，线面关系、直线和平面所成角。

解题思路

证明平面和平面垂直的条件是线面垂直，求线面角可以利用空间直角坐标系。

易错点

在证明时候忽略了条件又平面，用空间直角坐标系时，线面角的正弦是与的夹角为的余弦。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

与平面所成的角的正弦值为。

解析

解法一：

由知

所以是的外心

又所以为的中点

过作于，则由（Ⅰ）知平面

所以即为与平面所成的角

由，得，

所以，

所以

解法二：

如图建系，则，，

所以，

设平面的法向量为

由得，取

设与的夹角为

所以

所以与平面所成的角的正弦值为

考查方向

本考查了空间想象力，线面关系、直线和平面所成角。

解题思路

证明平面和平面垂直的条件是线面垂直，求线面角可以利用空间直角坐标系。

易错点

在证明时候忽略了条件又平面，用空间直角坐标系时，线面角的正弦是与的夹角为的余弦。

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

18．如图，四边形是菱形，平面，，, ，点为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

正确答案

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）略；

（Ⅲ）．

解析

（Ⅰ）取中点，连接

因为点为的中点，

所以且

又，且，

所以

所以四边形为平行四边形．

所以

又平面，平面,

所以平面．

（Ⅱ）连接．

因为四边形为菱形，，所以为等边三角形．

因为为中点，所以，

又因为平面，平面，所以，

又，平面，

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

法二：因为四边形为菱形，，所以为等边三角形．

因为为中点，所以，

又因为平面，平面，

所以平面平面，

又平面，平面,

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

（Ⅲ）因为，

, 所以．

考查方向

本题考查了线面平行，面面垂直的证明，体积的求法，在近几年的各省高考题出现的频率非常高．

解题思路

（Ⅰ）借助于平行四边形，得到线线平行，进而得到线面平行；

（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理；

易错点

定理记忆不清致误．

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

19. 四棱锥平面ABCD，2AD=BC=2a，

（1）若Q为PB的中点，求证：；

（2）若，M为BC中点，试在PC上找一点N，使PA//平面DMN；

正确答案

详细答案见解析.

解析

试题分析：本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关函数的知识，即可解决本题，解析如下：

证明（1）连结,中,

由余弦理:,

解得

所以为直角三角形，因为，

所以又因为平面

所以因为

所以平面平面

所以，平面平面又因为，为中点

所以因为平面平面

所以平面平面

所以

（2）当为中点时，平面;

证明：连结，

设先证明为平行四边形，

由中点得可证明平面

考查方向

本题考查了线面平行、垂直，余弦定理的相关知识点。

易错点

证明线面垂直时由于不熟悉定理容易证错。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

15. 是同一球面上的四个点，，⊥平面，，，则该球的表面积为 .

正确答案

解析

由题意画出几何体的图形如图，

把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，，

所以OE=3，△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，

∴球半径AO=，所求球的表面积S=

考查方向

本题主要考查球的体积和表面积

解题思路

由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．

易错点

本题利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.如图，在三棱锥中，底面，，且，点是的中点，且交于点.

（1）求证：平面；

（2）当时，求三棱锥的体积.

正确答案

（2）

解析

（1）证明：底面，，又易知，

平面，，

又，是的中点，，

平面，，

又已知，

平面；

（2）平面，平面，

而，，，

又，，

又平面，，

而，，

，

.

考查方向

本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

解题思路

（1）利用面面垂直的判定定理证明平面SAC⊥平面AMN．

（2）利用VS-ACM=VD-ACM=VM-DAC，即可求三棱锥S-ACM的体积．

易错点

（1）利用线面垂直条件证明，注意要垂直两条相交直线

（2）利用等体积法求

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点, 平面．

（Ⅰ）证明:平面平面；

（Ⅱ）若,试求异面直线与所成角的余弦值．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

试题解析：（Ⅰ）依题意∴是正三角形，，

∵⊥平面，平面，

平面

平面，∴平面平面．

（Ⅱ）取的中点，连接、，连接

中，是中位线，,

∴四边形是平行四边形，可得

可得（或其补角）是异面直线与所成的角．

,

即异面直线与所成角的余弦值为．

考查方向

本题考查了立体几何中的面面垂直和异面直线所成的角的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何，解题步骤如下：

（1）转化为证明线面垂直。

（2）找到三角形，利用余弦定理求解。

易错点

（1）第一问中的面面垂直的转化。（2）第二问中异面直线所成的角求解时要找到适当的三角形。

知识点

异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

热门试卷

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

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易错点

正确答案

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考查方向

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易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

易错点

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考查方向

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易错点

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解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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