函数性质的综合应用_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

设函数.

25.讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

26.记，求函数在上的最大值D；

27.在（Ⅱ）中，取，求满足时的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）极小值为

解析

（Ⅰ），.

，.

因为，所以.

①当时，函数单调递增，无极值.

②当时，函数单调递减，无极值.

③当，在内存在唯一的，使得.

时，函数单调递减；时，函数单调递增.

因此，，时，函数在处有极小值.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

（Ⅰ）将代入为，.

求导得，.因为，所以.按的范围分三种情况进行讨论：①当时，函数单调递增，无极值.②当时，函数单调递减，无极值.③当，在内存在唯一的，使得.时，函数单调递减；时，函数单调递增.因此，，时，函数在处有极小值.

易错点

函数求导错误，分类讨论能力弱，计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

：

（Ⅱ）时，，

当时，取，等号成立，

由此可知，函数在上的最大值为.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

当时，依据绝对值不等式可知，从而能够得出函数在上的最大值为.

易错点

绝对值不等式性质运用错误，计算错误，不会合理放缩不等式

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）1.

解析

（Ⅲ），即，此时，从而.

取，则，并且.

由此可知，满足条件的最大值为1.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

（Ⅲ）当，即，此时，从而.依据式子特征取，则，并且.由此可知，满足条件的最大值为1

易错点

平均值不等式的性质，计算能力弱

2

题型：简答题

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简答题 · 4 分

5. 已知点在函数的图像上，则的反函数____________

正确答案

解析

，故，

∴

知识点

函数性质的综合应用反函数

3

题型：简答题

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简答题 · 4 分

7. 方程在区间上的解为________________

正确答案

解析

，即

∴

知识点

函数性质的综合应用函数零点的判断和求解

4

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数，

25.若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

26.令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

27.当时，证明：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

第1问利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

第1问利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

第1问利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

5

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设函数（e是自然对数的底数）.

27．若，求的单调区间；

28.若在内无极值，求a的取值范围；

29.设，求证：.

注：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了数学归纳法，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

借助导函数的正负直接求出单调区间

易错点

本题易错在第二问中的信息转化：函数在单调，第三问选错题方向

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了数学归纳法，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

根据在内无极值→在内单调→在恒正或者恒负，进而使用提参的方式得出结果

易错点

本题易错在第二问中的信息转化：函数在单调，第三问选错题方向

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了数学归纳法，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

本题解题思路

借助第二问的结论使用数学归纳法证明结论

易错点

本题易错在第二问中的信息转化：函数在单调，第三问选错题方向

6

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.

24.求，的解析式，并证明：当时，，；

25.设，，证明：当时，.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），.证明：当时，，，故

又由基本不等式，有，即

解析

（Ⅰ）由, 的奇偶性及,①得： ②

联立①②解得，.

当时，，，故 ③

又由基本不等式，有，即 ④

考查方向

1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用；

解题思路

（Ⅰ）将等式中用来替换，并结合已知是奇函数，是偶函数可得于是联立方程组即可求出的表达式；当时，由指数与指数函数的性质知，，进而可得到然后再由基本不等式即可得出

易错点

导函数计算出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

⑤⑥

当时，等价于 ⑦ 等价于

⑧于是设函数，由⑤⑥，有

当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得 .

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ⑤

， ⑥

当时，等价于， ⑦

等价于 ⑧

设函数，由⑤⑥，有

当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得 .

考查方向

函数的基本性质；

解题思路

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.于是要证明，即证，也就是证明，即证于是构造函数，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.

易错点

计算量大。

7

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

，所以函数为奇函数，又

，所以恒成立等价于

因为，知，，，由恒成立知；，所以m的取值范围为。

考查方向

二次函数的性质；导数的应用

解题思路

利用函数的性质将不等式恒成立转换成其他等价形式，由求得实数m的取值范围

易错点

求导错误，讨论参数取值范围时考虑不全面

知识点

函数性质的综合应用函数恒成立问题

8

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．若存在两个正实数x、y，使得等式x＋a(y－2ex)(lny－lnx)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为．

正确答案

a＜0或a≥

解析

∵x＋a(y－2ex)(lny－lnx)＝0成立

∴

设，即

即有解

设，数；

即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e-2e）lne=-e，即g（t）≥g（e）=-e，

若有解，则

∴a＜0或a≥

考查方向

本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键

解题思路

根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函

数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．

易错点

能成立问题要转化有解问题，同时要构造函数求最值，同时计算容易出现错误

知识点

函数性质的综合应用导数的几何意义

9

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.已知函数，实数满足：，的值为______.

正确答案

考查方向

该题主要考察了对数函数的定义域，对数值大小的比较，对数函数的图像与性质，还考察了解一元二次方程，该题运算量比较大，涉及知识点比较多，属于比较难的题

解题思路

该题解题思路

易错点

主要易错于函数中的绝对值不能去掉，不能判别的大小关系

知识点

函数性质的综合应用函数的值

10

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数．

25.讨论的单调性；

26.证明当时，；

27.设，证明当时，.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；

解析

（I）由题设，的定义域为，，令，解得

当时，，单调递增；当时，，单调递减

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）（II）由（I）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，

，故当时，即。

解析

（II）由（I）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，

，故当时，即。

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（II）左端等式可利用（I）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）（III）由题设，，则，令

解得；当，单调递增，当，，单调递减，由（II）知，，故，又，故当时，，所以当时，

解析

（III）由题设，，则，令

解得；当，单调递增，当，，单调递减，由（II）知，，故，又，故当时，，所以当时，

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

变形所证不等式构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案