- 函数性质的综合应用
- 共80题
设函数.
25.讨论函数在
内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
26.记,求函数
在
上的最大值D;
27.在(Ⅱ)中,取,求
满足
时的最大值.
正确答案
(Ⅰ)极小值为
解析
(Ⅰ),
.
,
.
因为,所以
.
①当时,函数
单调递增,无极值.
②当时,函数
单调递减,无极值.
③当,在
内存在唯一的
,使得
.
时,函数
单调递减;
时,函数
单调递增.
因此,,
时,函数
在
处有极小值
.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)将代入
为
,
.
求导得,
.因为
,所以
.按
的范围分三种情况进行讨论:①当
时,函数
单调递增,无极值.②当
时,函数
单调递减,无极值.③当
,在
内存在唯一的
,使得
.
时,函数
单调递减;
时,函数
单调递增.因此,
,
时,函数
在
处有极小值
.
易错点
函数求导错误,分类讨论能力弱,计算能力弱
正确答案
解析
:
(Ⅱ)时,
,
当时,取
,等号成立,
当时,取
,等号成立,
由此可知,函数在
上的最大值为
.
考查方向
解题思路
当时,依据绝对值不等式可知
,从而能够得出函数
在
上的最大值为
.
易错点
绝对值不等式性质运用错误,计算错误,不会合理放缩不等式
正确答案
(Ⅲ)1.
解析
(Ⅲ),即
,此时
,从而
.
取,则
,并且
.
由此可知,满足条件
的最大值为1.
考查方向
解题思路
(Ⅲ)当,即
,此时
,从而
.依据式子特征取
,则
,并且
.由此可知,
满足条件
的最大值为1
易错点
平均值不等式的性质,计算能力弱
5. 已知点在函数
的图像上,则
的反函数
____________
正确答案
解析
,故
,
∴
∴
知识点
7. 方程在区间
上的解为________________
正确答案
解析
,即
∴
∴
∴
知识点
已知函数,
25.若函数在
上是减函数,求实数
的取值范围;
26.令,是否存在实数
,当
(
是自然常数)时,函数
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
27.当时,证明:
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问利用导数求函数的单调区间,第2问利用分类讨论思想,讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。
易错点
求导数错误,参数的取值范围分类错误
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问利用导数求函数的单调区间,第2问利用分类讨论思想,讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。
易错点
求导数错误,参数的取值范围分类错误
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问利用导数求函数的单调区间,第2问利用分类讨论思想,讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。
易错点
求导数错误,参数的取值范围分类错误
设函数(e是自然对数的底数).
27.若,求
的单调区间;
28.若在
内无极值,求a的取值范围;
29.设,求证:
.
注:.
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
借助导函数的正负直接求出单调区间
易错点
本题易错在第二问中的信息转化:函数在
单调,第三问选错题方向
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
根据在
内无极值→
在
内单调→
在
恒正或者恒负,进而使用提参的方式得出结果
易错点
本题易错在第二问中的信息转化:函数在
单调,第三问选错题方向
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
本题解题思路
借助第二问的结论 使用数学归纳法证明结论
易错点
本题易错在第二问中的信息转化:函数在
单调,第三问选错题方向
设函数,
的定义域均为
,且
是奇函数,
是偶函数,
,其中e为自然对数的底数.
24.求,
的解析式,并证明:当
时,
,
;
25.设,
,证明:当
时,
.
正确答案
(Ⅰ),
.证明:当
时,
,
,故
又由基本不等式,有,即
解析
(Ⅰ)由,
的奇偶性及
,①得:
②
联立①②解得,
.
当时,
,
,故
③
又由基本不等式,有,即
④
考查方向
解题思路
(Ⅰ)将等式中
用
来替换,并结合已知
是奇函数,
是偶函数可得
于是联立方程组即可求出
的表达式;当
时,由指数与指数函数的性质知
,
,进而可得到
然后再由基本不等式即可得出
易错点
导函数计算出错。
正确答案
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
⑤
⑥
当时,
等价于
⑦
等价于
⑧于是设函数
,由⑤⑥,有
当
时,(1)若
,由③④,得
,故
在
上为增函数,从而
,即
,故⑦成立.(2)若
,由③④,得
,故
在
上为减函数,从而
,即
,故⑧成立.综合⑦⑧,得
.
解析
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 , ⑤
, ⑥
当时,
等价于
, ⑦
等价于
⑧
设函数 ,由⑤⑥,有
当时,(1)若
,由③④,得
,故
在
上为增函数,从而
,即
,故⑦成立.(2)若
,由③④,得
,故
在
上为减函数,从而
,即
,故⑧成立.综合⑦⑧,得
.
考查方向
解题思路
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
.于是要证明
,即证
,也就是证明
,即证
于是构造函数
,利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.
易错点
计算量大。
12.已知函数,若当
时,
恒成立,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
,所以函数
为奇函数,又
,所以
恒成立等价于
因为,知,
,
,由
恒成立知;
,所以m的取值范围为
。
考查方向
解题思路
利用函数的性质将不等式恒成立转换成其他等价形式,由求得实数m的取值范围
易错点
求导错误,讨论参数取值范围时考虑不全面
知识点
14.若存在两个正实数x、y,使得等式x+a(y-2ex)(lny-lnx)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围为 .
正确答案
a<0或a≥
解析
∵x+a(y-2ex)(lny-lnx)=0成立
∴
设,即
即有解
设,
数;
即当t=e时,函数g(t)取得极小值,为g(e)=(e-2e)lne=-e,即g(t)≥g(e)=-e,
若有解,则
∴a<0或a≥
考查方向
解题思路
根据函数与方程的关系将方程进行转化,利用换元法转化为方程有解,构造函数求函
数的导数,利用函数极值和单调性的关系进行求解即可.
易错点
能成立问题要转化有解问题,同时要构造函数求最值,同时计算容易出现错误
知识点
15.已知函数,实数
满足:
,
的值为______.
正确答案
考查方向
解题思路
该题解题思路
易错点
主要易错于函数中的绝对值不能去掉,不能判别的大小关系
知识点
设函数.
25.讨论的单调性;
26.证明当时,
;
27.设,证明当
时,
.
正确答案
(Ⅰ)当时,
单调递增;当
时,
单调递减;
解析
(I)由题设,的定义域为
,
,令
,解得
当时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减
考查方向
解题思路
(I)首先求出导函数,然后通过解不等式
或
可确定函数
的单调性
易错点
对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误
正确答案
(Ⅱ)(II)由(I)知,在
处取得最大值,最大值为
,所以当
时,
,故当
时
,即
。
解析
(II)由(I)知,在
处取得最大值,最大值为
,所以当
时,
,故当
时
,即
。
考查方向
解题思路
(II)左端等式可利用(I)的结论证明,右端将左端的换为
即可证明;
易错点
对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误
正确答案
(Ⅲ)(III)由题设,
,则
,令
解得;当
,
单调递增,当
,
,
单调递减,由(II)知,
,故
,又
,故当
时,
,所以当
时,
解析
(III)由题设,
,则
,令
解得;当
,
单调递增,当
,
,
单调递减,由(II)知,
,故
,又
,故当
时,
,所以当
时,
考查方向
解题思路
变形所证不等式构造新函数,然后通过利用导数研究函数的单调性来处理
易错点
对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误
扫码查看完整答案与解析