函数性质的综合应用_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数，(其中).

25.如果函数和有相同的极值点，求的值，并直接写出函数的单调区间；

26.令，讨论函数在区间上零点的个数。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）或；

当时,的递增区间为,,递减区间为

当时,的递增区间为,递减区间为. ;

解析

(Ⅰ),则,

令,得或,而二次函数在处有极大值,

所以或,解得或；

当时,的递增区间为,,递减区间为.

当时,的递增区间为,递减区间为.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，判断函数零点的个数等知识。意在考查考生的综合解决问题的能力和分类讨论的思想。

解题思路

先求导后得到原函数的极值点后结合二次函数即可求得a的值，后面利用常用的方法求单调区间；

易错点

不理解函数和有相同的极值点导致无法求出a的值；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）当或时，函数有唯一零点；

当时，函数有两不相等的零点。

解析

(Ⅱ)

令,,

当即时，无实根，故的零点为，满足题意，

即函数有唯一零点；

当即或时,

若，则的实数解为，故在区间上有唯一零点；

若，则的实数解为，故在区间上有两零点，或；

当即或时，

若，由于，

此时在区间上有一实数解，故在区间上有唯一零点；

若时，由于，

当即时，数形结合可知在区间上有唯一实数解，

故在区间上有唯一零点；

若即时，由于的对称轴为，故，

又且，

所以在区间上有两个不等零点.

综上，当或时，函数有唯一零点；

当时，函数有两不相等的零点。

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，判断函数零点的个数等知识。意在考查考生的综合解决问题的能力和分类讨论的思想。

解题思路

按照判别式分类讨论各种情况下零点的个数。

易错点

不会确定分类的标准。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.已知函数,.若图象上存在两个不同的点与图象上两点关于轴对称，则的取值范围为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

设，由题意可知，设在上必有两个负根，，设上不可能有两个负A根，可排除A,B, 上为增函数，(-1,0)上为减函数，F(-1)是极大值，F(-1)=-1<0, 不可能有两个负根排除答案C，所以选择D.

考查方向

考察函数图像的对称性，构造函数及用导数解决函数和零点问题

解题思路

先设点，后转化方程，得到一个方程有两个负根的问题，然后再构造一个新函数，运用导数来判断函数的有关零点问题

易错点

不能正确理解题目中的对称问题，进而在问题转化过程中进行不下去，对不同情况进行分类讨论不全

知识点

函数性质的综合应用函数图象的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．设函数在其定义域D上的导函数为，如果存在实数和函数，其中对任意的，都有，使得则称函数具有性质，给出下列四个函数：

①； ②；

③； ④

其中具有性质的函数为(　　)

A① ② ③

B① ② ④

C② ③ ④

D① ③ ④

正确答案

A

解析

①,其中h(x)=1,a=2; ②, a=2; ③,a=2; ④,显然不具有的性质.所以答案选择A.

考查方向

本题重点考查函数的导数，以及函数的新信息问题

解题思路

分别对函数求导，变形与的性质对比。

易错点

不理解函数新信息的性质而出错

知识点

函数性质的综合应用导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数的图像在点处的切线为．

27.求函数的解析式；

28.当时，求证：；

29.若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

，由已知解得，故

考查方向

利用导数求最值和极值；利用导数研究函数的图像特征;

解题思路

先根据导数的性质求切线的斜率，进而求出参数的值，得到函数的解析式,利用导数的性质作出函数大致图像,结合图像,利用分类讨论思想求K的取值范围.

易错点

求导错误，函数性质理解错误;分类讨论有重有漏

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

令，由得

当时，，单调递减；当时，，单调递增

∴，从而

考查方向

利用导数求最值和极值；利用导数研究函数的图像特征;

解题思路

先根据导数的性质求切线的斜率，进而求出参数的值，得到函数的解析式,利用导数的性质作出函数大致图像,结合图像,利用分类讨论思想求K的取值范围.

易错点

求导错误，函数性质理解错误;分类讨论有重有漏

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

对任意的恒成立对任意的恒成立

令,∴由28题可知当时，恒成立令，得；得∴的增区间为，减区间为，∴，∴实数的取值范围为

考查方向

利用导数求最值和极值；利用导数研究函数的图像特征;

解题思路

先根据导数的性质求切线的斜率，进而求出参数的值，得到函数的解析式,利用导数的性质作出函数大致图像,结合图像,利用分类讨论思想求K的取值范围.

易错点

求导错误，函数性质理解错误;分类讨论有重有漏

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．

已知函数.

18.是“可等域函数”，求函数的“可等域区间”；

若区间的“可等域区间”，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（Ⅱ）

因为区间为的“可等域区间，所以

考查方向

考察函数的新信息题，具体涉及到函数的定义域，值域，图像等性质

解题思路

先确定函数的值域，利用“可等域函数”，结合函数的图象，可得函数的“可等域区间”为

易错点

对新信息理解到位易出错，对函数的综合性质应用不熟练易出现，分类与解题逻辑上的错误，数形结合应用易出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

考察函数的新信息题，具体涉及到函数的定义域，值域，图像等性质

解题思路

利用“可等域区间”的定义，得出a>0,结合图象，利用区间与对称轴的关系及函数的单调性求出a,b

易错点

对新信息理解到位易出错，对函数的综合性质应用不熟练易出现，分类与解题逻辑上的错误，数形结合应用易出错

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）

设函数

23.若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；

24.若在上为减函数，求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，切线方程为.

解析

试题分析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程．

试题解析：（1）对求导得

因为在处取得极值，所以，即.

当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得

考查方向

复合函数的导数，函数的极值，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

解题思路

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法.

易错点

极值的几何意义．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．

试题解析：（2）由（1）得，,

令

由，解得.

当时，,故为减函数；

当时，,故为增函数；

当时，,故为减函数；

由在上为减函数，知，解得

故a的取值范围为.

考查方向

复合函数的导数，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

解题思路

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；

易错点

本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，.

现有如下命题：

（1）对于任意不相等的实数，都有；

（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；

（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；

（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得.

其中的真命题有（写出所有真命题的序号）.

正确答案

①④

解析

对于①，因为f '(x)＝2xln2＞0恒成立，故①正确；

对于②，取a＝－8，即g'(x)＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误；

对于③，令f '(x)＝g'(x)，即2xln2＝2x＋a，记h(x)＝2xln2－2x，则h'(x)＝2x(ln2)2－2，存在，使得，可知函数先减后增，有最小值，因此，对于任意的a,m=n不一定成立，③错误；对于④，由，即，令，则恒成立，即是单调递增函数，当，时，当，时，因此对于任意的a，存在y=a与函数有交点，④正确。

考查方向

本题主要考察函数的性质、导数的应用等知识，意在考察考生的综合解决问题的能力。

解题思路

逐个判断各个选项的正误即可。

易错点

1.不明白题中给出的条件是什么；

对于③④，不知道该如何判断正误。

知识点

函数性质的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数．

26.若函数在x＝0处的切线也是函数图象的一条切线，求实数a的值；

27.若函数的图象恒在直线的下方，求实数a的取值范围；

28.若，且，判断与的大小关系，并说明理由．

注：题目中e＝2.71828…是自然对数的底数．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅰ），在x＝0处切线斜率k＝，切线l：，

又，设l与相切时的切点为，则斜率，

则切线l的方程又可表示为，

由解之得a＝．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

a＝．

（Ⅱ）由题对于x＞0恒成立，即对于x＞0恒成立，

令，则，由得，

则当x＞0时，，

由，得，即实数a的取值范围是．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）＞.

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅲ）＞．理由如下：

由题，由得，

当＜x＜a时，，单调递减，

因为，所以，即，

所以， ①

同理， ②

①＋②得，

因为，

由得，即，

所以，即，

所以＞．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.已知函数

（I）若函数与函数在点处有共同的切线l，求t的值；

（II）证明：；

（III）若不等式对所有的都成立，求实数a的取值范围.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了导函数的几何意义，函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了简单复合函数的导函数，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

本题解题思路

1）根据共同的切线的理解得到该点处导函数值与函数值都相等得到t

2）利用单调性确定绝对值内的正负，去掉绝对值号，利用对式子进行证明

3)构造关于m的一次函数，把x当作参数消掉m后再使用恒成立问题的解答得出结果

易错点

本题易错在以下几个方面

1）对共同的切线理解不足，第一问出错

2）不能有效去掉绝对值，使用错的解题思想

3）变量间关系不能有效理清

知识点

函数性质的综合应用导数的运算不等式与函数的综合问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，

②函数有2个零点

③的解集为

④，都有

其中正确命题个数是（）

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

因为f(x)为R上的奇函数，设x>0，-x<0,则，所以1错误，因为，所以f(x)有三个零点，所以2错误，，因为当，

当所以所以解集为，所以3正确。

同理判断4正确，所以选B

考查方向

函数的性质及应用；导数的综合应用；函数奇偶性的性质

解题思路

根据函数的相关性质，结合子题目，依次判断

易错点

求导错误；

知识点

函数性质的综合应用函数零点的判断和求解

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