函数性质的综合应用
共80题

· 函数性质的综合应用

函数性质的综合应用
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题型：填空题

填空题 · 5 分

15．已知函数，给出下面四个命题：

① 函数的图象一定关于某条直线对称；

② 函数在R上是周期函数；

③ 函数的最大值为；

④ 对任意两个不相等的实数，都有成立．

其中所有真命题的序号是．

正确答案

①③

解析

因为，

且，

所以函数的图象关于直线对称，故①正确；当时，，当时，，即函数的最大值为，且不可能为周期函数，故②错误，③正确；因为是函数的最大值，所以函数在上为减函数，则，故④错误.

考查方向

本题主要考查了函数的对称性、单调性、周期性等性质.

解题思路

1）利用得到函数关于直线对称；

2）由对称性判定其他性质.

易错点

本题易在判定函数的对称性时出现错误，易忽视“若，则函数的图象关于对称”的应用.

知识点

奇偶性与单调性的综合函数性质的综合应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数.（其中为自然对数的底数,）

26.若曲线过点，,求曲线在点处的切线方程。

27.若的两个零点为且,求的值域。

28.若恒成立，试比较与的大小，并说明理由。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）当时，

，，∴所求切线方程，即

考查方向

本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，导数在最大值，最小值中的应用。

解题思路

1）第一问由可得，求出的导数，求的切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；

2）第二问由零点的概念，化简函数，令，得到所求值域。

3）由得，即有，令，求出导数，求的单调区间，可得大小。

易错点

求导函数，求极值，参数m的讨论是本题的易错点，

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）；

解析

（2）由题意，，。

令

又

∴在上单调递减

∴

∴的值域为

考查方向

本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，导数在最大值，最小值中的应用。

解题思路

1）第一问由可得，求出的导数，求的切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；

2）第二问由零点的概念，化简函数，令，得到所求值域。

3）由得，即有，令，求出导数，求的单调区间，可得大小。

易错点

求导函数，求极值，参数m的讨论是本题的易错点，

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）综上，当时，；当时，；当时，。

解析

（3）由得，即有

令，则，令，

∴在上单调递增，在上单调递减。

∴，∴

又令，则。

令，，又

∴在上单调递增，在上单调递减

又，

∴当时，，即

∴

同理，当时，，当时，。

综上，当时，

当时，，

当时，。

考查方向

本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，导数在最大值，最小值中的应用。

解题思路

1）第一问由可得，求出的导数，求的切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；

2）第二问由零点的概念，化简函数，令，得到所求值域。

3）由得，即有，令，求出导数，求的单调区间，可得大小。

易错点

求导函数，求极值，参数m的讨论是本题的易错点，

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数f (x)= +lnx．

25.若函数f(x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；

26.当a=1时，设F(x)=f(x)+1+，求证：当x>l时，．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）因为，且，则

①当时，，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾；

②当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，

∴函数的最小值为，得．

③当时，，函数在上单调递减，其最小值为，与最小值是相矛盾．

综上所述，的值为．

考查方向

本题主要考查了函数的最值及不等式的证明，考查考生分类讨论和构造函数的能力。

解题思路

（1）先对函数进行求导，再对参数进行分类讨论探讨函数的单调性从而研究其最小值及此时a的值；（2）通过灵活变形构造新函数的方法证明不等式。

易错点

对参数的分类讨论研究函数的最值。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）当x>l时，

解析

（2）要证，即证，

当时，，

令，则，

当时，, 递增；当时，, 递减，

∴在处取得唯一的极小值，即为最小值，即，∴，

∴在上是增函数，∴当时，为增函数，

故，故． [来源:学科网ZXXK]

令，则

∵, ∴，∴，即在上是减函数，

∴时，，所以，即，

所以．

考查方向

本题主要考查了函数的最值及不等式的证明，考查考生分类讨论和构造函数的能力。

解题思路

（1）先对函数进行求导，再对参数进行分类讨论探讨函数的单调性从而研究其最小值及此时a的值；（2）通过灵活变形构造新函数的方法证明不等式。

易错点

对参数的分类讨论研究函数的最值。

题型：填空题

填空题 · 5 分

12. 定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为 .

正确答案

解析

由奇函数在区间上单调递减，所以函数在区间上也单调递减，且。

（1）当即时，不等式可化为，而，所以成立，符合题意。

（2）当即时，不等式可化为，所以。

（3）当即时，

①当时，不等式可化为，所以。

②当时，不等式可化为，所以符合题意。

③当时，不等式可化为，所以与取交集为。

综上可知，的解集合为。

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性，抽象函数的图像等知识，意在考查考生分类讨论的思想。

解题思路

1.先利用奇函数求出函数在对称的区间上的单调性；

2.根据x的范围不同分类求出x的解后取并集。

易错点

1.不会奇函数在对称的区间上单调性相同这个结论；

2.分类讨论时不全或重复。

知识点

函数奇偶性的性质函数性质的综合应用不等式与函数的综合问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

14. 设函数的定义域为，记，

，若，,

且, 则的取值范围是___________________.

正确答案

解析

由可以知:函数可以取到最大值为2.由知，所以又，所以。

考查方向

本题主要考查函数的定义域、值域的有关知识，三角函数的定义域和值域等知识，意在考查考生对于函数符号的理解能力和转化能力。

解题思路

1.先根据题中给出的符号转化出函数的最大值2；根据三角函数取最大值的解法得到。

易错点

1.根本无法理解题中的符号是什么意思；

2.不会转化题中的条件导致无法解出正确答案。

知识点

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