热门试卷

（1）：当时， ，，

记过原点与相切的直线为L，设切点坐标为，

则切线L斜率为 切线方程为

又切线过（0，0），所以

，切线方程为 ，

为偶函数，图像关于y轴对称，

∴当时，设过原点与相切的直线方程为

 即

（2）因为任意，都有，故x=1时，

当时，，从而，∴

当时，，从而，

∴ ，综上  ，

又整数，即，故，故x=m时，

得：， 即存在，满足

∴  ，即，

令，，则

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又，，，

由此可见，方程在区间上有唯一解，

且当时，当时，

，故，此时.

下面证明：对任意恒成立，

①当时，即，等价于，

，∴，

②当时，即，等价于

令，则，在上递减，在上递增，

∴，而，

综上所述，对任意恒成立。

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）求导，然后算出在切点处的导数值，求出切线方程；当 时，，.  .又，∴曲线在点处的切线方程为．

试题分析本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，要注意对参数的讨论。∵，∴.

因为，，于是当时，，当时，.

所以在上是增函数，在上是减函数.  所以   讨论函数的零点情况如下．

①，即时，函数无零点，在上也无零点；…7分

②当，即时，函数在内有唯一零点，而 ，∴在内有一个零点；③当，即时，由于，    ，当时，即时，

，，由单调性可知，函数 在内有唯一零点、在内有唯一零点满足，在内有两个零点；当时，即时，，而且，由单调性可知，无论还是，在内有唯一的一个零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点； 综上所述，有：当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.

()  2分

因为函数在上为单调增函数，所以   在 恒成立

解得；

设点，，不妨设，则．

要证，即

即证．只需证,   即证． 只需证．设．由(1)令知在上是单调增函数，又， 所以．即 ，

即．   所以不等式成立.

（Ⅰ），

由x = e是f(x)的极值点，得，解得 或，

经检验，符合题意，所以或；

（Ⅱ）由已知得方程只有一个根，

即曲线f(x)与直线只有一个公共点。

易知，设，

①当时，易知函数f(x)在上是单调递增的，满足题意；

②当时，易知h(x)是单调递增的，又，，

∴，，

当时，>0，∴f(x)在上单调递增，

同理f(x)在上单调递减，在上单调递增，

又极大值，所以曲线f(x) 满足题意；

③当a>1时，，，

∴，，即，得，

可得f(x) 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，若要曲线f(x) 满足题意，只需，即，

所以，由知，且在[1,+∞)上单调递增，

由，得，因为在[1,+∞)上单调递增，

所以；

综上知，。

，

若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，

则，即有，∴2a+1>2>1，…………………2

则由f(x)>0得0<x<1或x>2a+1；由f(x)<0得1<x<2a+1。

∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，（2a+1,+），单调递减区间为(1,2a+1)。……5

∵，∴(2a+1)[4,6],由(Ⅰ)知f(x)在[1,2]上为减函数。

不妨设1≤x1<x2≤2，则f(x1)>f(x2)，，

∴原不等式即为：f(x1)-f(x2)<，

即，对任意的，x1，x2[1,2]恒成立。……7

令g(x)=f(x)-，∴对任意的，x1，x2[1,2]有g(x1)<g(x2)恒成立，

∴g(x)=f(x)-在闭区间[1，2]上为增函数，

∴对任意的，x[1,2]恒成立。……………………9

而，

化简得，

即≥0，其中。

∵[1,2]，，只需，

即对任意x[1,2]恒成立，

令，x[1,2]，恒成立，

∴在闭区间[1,2]上为减函数，

则。由，解得。……12