- 直线的倾斜角与斜率
- 共278题
若为曲线
(
)的弦的中点,则该弦所在直线的倾斜角为_____________。
正确答案
45°或
解析
略
知识点
已知点,
的坐标分别为
,
.直线
,
相交于点
,且它们的斜率之积是
,记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设是曲线
上的动点,直线
,
分别交直线
于点
,线段
的中点为
,求直线
与直线
的斜率之积的取值范围;
(3)在(2)的条件下,记直线与
的交点为
,试探究点
与曲线
的位置关系,并说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)设动点,则
(
且
)
所以曲线的方程为
(
).
(2)法一:设,则直线
的方程为
,令
,则得
,直线
的方程为
,
令,则得
,
∵ =
∴,∴
故
∵ ,∴
,
∴,
∴,
∴直线与直线
的斜率之积的取值范围为
法二:设直线的斜率为
,则由题可得直线
的斜率为
,
所以直线的方程为
,令
,则得
,
直线的方程为
,令
,则得
,
∴,
∴
故
∴直线与直线
的斜率之积的取值范围为
(3)法一:由(2)得,
,
则直线的方程为
,直线
的方程为
,…12分
由,解得
即
∴
∴ 点在曲线
上.
法二:由(2)得,
∴ ,
∴
∴ 点在曲线
上。
法三:由(2)得,,
,
∴ ,
∴ ∴ 点
在曲线
上.
知识点
已知点是平面直角坐标系上的一个动点,点
到直线
的距离等于点
到点
的距离的2倍,记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)斜率为的直线
与曲线
交于
两个不同点,若直线
不过点
,设直线
的斜率分别为
,求
的数值;
(3)试问:是否存在一个定圆,与以动点
为圆心,以
为半径的圆相内切?若存在,求出这个定圆的方程;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由题知,有.
化简,得曲线的方程:
,
(2)∵直线的斜率为
,且不过
点,
∴可设直线:
。
联立方程组得
。
又交点为,
∴,
∴
(3)答:一定存在满足题意的定圆.
理由:∵动圆与定圆
相内切,
∴两圆的圆心之间距离与其中一个圆的半径之和或差必为定值.
又恰好是曲线(椭圆)
的右焦点,且
是曲线
上的动点,
记曲线的左焦点为
,联想椭圆轨迹定义,有
,
∴若定圆的圆心与点
重合,定圆的半径为4时,则定圆
满足题意.
∴定圆的方程为:
.
知识点
在数1和100之间插入个实数,使得这
个数构成递增的等比数列,将这
个数的乘积记作
,再令
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列
的前
项和
.
正确答案
见解析
解析
本题考查等比和等差数列,对数和指数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用基本知识解决问题的能力,创新思维能力和运算求解能力。
(1)设构成等比数列,其中
,则
①
②
①×②并利用,得
(2)由题意和(1)中计算结果,知
另一方面,利用
得
所以
知识点
已知椭圆的左右焦点分别为
,点
为短轴的一个端点,
。
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过右焦点,且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点,
为椭圆的右顶点,直线
分别交直线
于点
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
。
求证: 为定值。
正确答案
见解析
解析
(1)由条件可知, …………2分
故所求椭圆方程为, …………4分
(2)设过点的直线
方程为:
, …………5分
由可得:
…………6分
因为点在椭圆内,所以直线
和椭圆都相交,即
恒成立。
设点,则
, …………8分
因为直线的方程为:
,
直线的方程为:
, ………9分
令,可得
,
,
所以点的坐标
, ………10分
直线的斜率为
…………12分
所以为定值
, …………13分
知识点
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