热门试卷

解析：（1）不妨设=1，又，∴在△ABC中，

，∴，

则=，…………………………………1分

所以,又,∴,

且也为等腰三角形.……………………………………………3分

（法一）取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴，

∵面，∴，∴，…………5分

所以AB⊥平面MNQ，

又MN平面MNQ

∴AB⊥MN…………………………………6分

（法二），则,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

可得，，,

,…………………………………4分

∴,

则，所以。…………6分

（2）同（1）法二建立空间直角坐标系，可知

，，面的法向量可取为，

…………………………………8分

设面的法向量为，，，

则即可取，………………10分

∴=，

故二面角的余弦值为。…………………12分

（1）证明：当D是AB中点时。AC1//平面B1CD。

连接BC1，交B1C于E，连接DE。

因为三棱柱是直三棱柱，

所以侧面BB1C1C为矩形。DE为△ABC1的中位线。

所以DE//AC1

所以 AC1∥平面B1CD，     

（2） 由 ，得AC⊥BC，

以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

则B(6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A1(0, 8,8)，B1(6, 0, 8)。

设D(a, b, 0)（，）

因为 点D在线段AB上，且， 即。

所以

所以，，

平面BCD的法向量为。

设平面B1CD的法向量为，

由 ，， 得 ，

所以，，

设二面角的大小为， ，

所以二面角的余弦值为

（1）连接AB，在EA的延长线上取点F，如图①所示。

∵AE是⊙O1的切线，切点为A，

∴∠FAC＝∠ABC,.……………1分

∵∠FAC＝∠DAE，

∴∠ABC＝∠DAE,∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，

∴∠ABC＝∠ADE,……………2分

∴∠DAE＝∠ADE.………………3分

∴EA＝ED,∵,

∴.………………5分

（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，

所以直线CA与⊙O2相切，……………6分

如图②所示，由弦切角定理知：

∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径，…………8分

∴由切割线定理知：EA2＝BE·CE，而CB＝2，BE＝6，CE=8

∴EA2＝6×8＝48，AE＝.故⊙O2的直径为.………………10分