- 直线的倾斜角与斜率
- 共278题
已知实数满足,则的最大值为 。
正确答案
解析
由柯西不等式,答案:。
知识点
如图,平行四边形中,,若的面积等于1cm,
则的面积等于 cm。
正确答案
9
解析
显然与为相似三角形,又,所以的面积等于9cm。
知识点
在四棱锥中,//,,,平面,.
(1)设平面平面,求证://;
(2)求证:平面;
(3)设点为线段上一点,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值。
正确答案
见解析
解析
(1)证明: 因为//,平面,平面,
所以//平面.…………………2分
因为平面,平面平面,
所以//.…………………4分
(2)证明:因为平面,,所以以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
则,,,. ……………………5分
所以 ,,
,
所以,
.
所以 ,.
因为 ,平面,
平面,
所以 平面.……………………9分
(3)解:设(其中),,直线与平面所成角为.
所以 .
所以 .
所以 即.
所以 .……………………11分
由(2)知平面的一个法向量为.…………………12分
因为 ,
所以 .
解得 .
所以 . …………………14分
知识点
如图, 中,侧棱与底面垂直, ,,点分别为和的中点。
(1)证明: ;
(2)求二面角的正弦值。
正确答案
见解析。
解析
(1)
如图所示,取A1B1的中点P,连接MP,NP。
又∵点M,N分别为A1B和B1C1的中点,∴NP∥A1C1,MP∥B1B,
∵NP⊂平面MNP,A1C1⊄平面MNP,∴NP∥平面A1ACC1;
同理MP∥平面A1ACC1;
又MP∩NP=P,
∴平面MNP∥平面A1ACC1;
∴MN∥平面A1ACC1;
(2)侧棱与底面垂直可得A1A⊥AB,A1A⊥AC,及AB⊥AC,可建立如图所示的空间直角坐标系。
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),N(1,1,2),M(1,0,1)。
∴=(﹣1,2,﹣1),=(1,﹣1,2),=(0,2,0)。
设平面ACM的法向量为=(x1,y1,z1),则,令x1=1,则z1=﹣1,y1=0。
∴=(1,0,﹣1)。
设平面NCM的法向量为=(x2,y2,z2),则,令x2=3,则y2=1,z2=﹣1。
∴=(3,1,﹣1)。
∴===。
设二面角N﹣MC﹣A为θ,则==。
故二面角N﹣MC﹣A的正弦值为。
知识点
如图,已知四棱锥的底面是菱形;平面,,
点为的中点。
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正切值。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:
连结,与交于点,连结.
是菱形, ∴是的中点.
点为的中点, ∴.
平面平面, ∴平面.
(2)解法一:
平面,平面,∴ .
,∴.
是菱形, ∴.
,
∴平面.
作,垂足为,连接,则,
所以为二面角的平面角.
,∴,.
在Rt△中,=,
∴.
∴二面角的正切值是.
解法二:
如图,以点为坐标原点,线段的垂直平分线所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,令,
则,,。
∴。
设平面的一个法向量为,
由,得,
令,则,∴.
平面,平面,
∴.
,∴.
是菱形,∴.
,∴平面.
∴是平面的一个法向量,。
∴,
∴,
∴,
∴二面角的正切值是.
知识点
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