热门试卷

(1)由题易知在△BCE中，，BE=3，

所以，

又在△FCE中，，所以 EF⊥CE，

因为平面ABCD⊥平面EFCB，DC⊥BC，所以DC⊥平面EFCB，

又EF平面EFCB，所以DC⊥EE，

又DCEC=C，所以EF⊥平面DCE。

(2) 法一

过点B作BH⊥EF交FE的延长线于点H，连接AH。

由平面ABCD⊥平面BEFC，

又平面ABCD平面BEFC=BC，AB⊥BC，

所以AB⊥平面BEFC，从而AB⊥EF，

又因为BH⊥EF，BHAB=B，所以EF⊥平面ABH。

又AH平面ABH，所以EF⊥AH，

所以∠AHB为二面角的平面角。

在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4，

所以∠CFE=，因为BE∥CF，所以∠BEH=∠CFE=。

又在Rt△BHE中，BE=3，所以，

由二面角的平面角的大小为，得∠AHB=，

在Rt△ABH中，解得。

所以当时，二面角的平面角的大小为。

(2)法二

由题知，平面ABCD⊥平面BEFC，又平面ABCD平面BEFC=BC，DC⊥BC，

则DC⊥平面BEFC，又CF⊥BC，则BC，CD，CF两两垂直，以点C为坐标原点，CB，CF和CD所在直线分别作为轴，轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

设，则，，，，，

从而，。

设平面AEF的法向量为，

由，0得，，

取，则，，

即平面AEF的二个法向量为。

不妨设平面EFCB的法向量为，

由条件，得，解得。

所以当时，二面角的平面角的大小为。

解: （1）因为,且A(3,0),所以=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得

所以直线BD的方程为

（2）线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,

所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为

又圆心(0,－1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长

为 (3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN

设,则,根据在直线上,

解得

所以,故存在这样的两个圆,且方程分别为

,…

连结AC。

∵EA是圆O的切线，∴∠EAB=∠ACB，      

∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，

∴∠ACD=∠EAB，         

∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，

∴∠D=∠ABE，             

∴△CDA∽△ABE，                      

∴，

∵AB=AD，

∴=，                    

解析：（1）取的中点，连结。

因为为中点，所以，且

，在梯形中，，，

所以，，四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面。                           ………4分

（2）平面底面，，所以平面，所以，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，。。

所以，又由平面，可得，所以平面。            ………8分

（3）平面的法向量为，

，所以，

设平面的法向量为，由，，得，

所以，所以，

注意到，得                                   …………12分

（1）设过作抛物线的切线的斜率为，则切线的方程为，

与方程联立，消去，得.

因为直线与抛物线相切，所以，

即. 由题意知，此方程两根为，

所以(定值). 

（2）设，由，得.

所以在点处的切线斜率为：，因此，切线方程为：.

由，化简可得，.

同理，得在点处的切线方程为.

因为两切线的交点为，故,.

所以两点在直线上，即直线的方程为：.

当时,，所以直线经过定点

（1）连结ON，因为PN切⊙O于N，所以，

所以。

因为，所以。

因为于O，所以，

所以，所以。

所以

（2），，。

因为，

所以

19.解析：（1）

连接，由知，点为的中点，

又∵为圆的直径，∴，

由知，，

∴为等边三角形，从而。-----------------3分

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，

∴，-----------------5分

由得，平面，

又平面，∴。       ----------------6分

（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分，）

由得，平面，

又平面，∴。           -----------------6分

（2）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接 -----------------7分

由（1）知平面，又平面，

∴，又，

∴平面，又平面，

∴，-----------------9分

∴为二面角的平面角。 -----------------10分

由（1）可知，，

（注：在第（1）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分，）

∴，则，

∴在中，，

∴，即二面角的余弦值为-----------------14分

法2：（坐标法）

以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系。                                                   -----------------8分

（注：如果第（1）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分，）

设，由，得，，，

∴，，，，

∴，，，

由平面，知平面的一个法向量为。  -----------------10分

设平面的一个法向量为，则

，即，令，则，，

∴，-----------------12分

设二面角的平面角的大小为，

则，-----------------13分

∴二面角的余弦值为。-----------------14分