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题型:简答题
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简答题

数列{an}满足(n∈N*).

(I)求数列{an}的通项公式;

(II)证明:

(III)证明:

正确答案

(I)解:由,猜想:

下面用数学归纳法证明猜想:成立.

(ⅰ)当n=1时,,猜想成立;

(ⅱ)假设n=k(k∈N*)时,猜想成立,即

那么当n=k+1时,,从而n=k+1时猜想成立.

综合(ⅰ),(ⅱ)知:猜想成立.即数列的通项公式为

(II)证明:当x>0时,构造函数g(x)=ln(1+x)-x,则g′(x)=,∴函数g(x)在(0,+∞)上单调减

∴g(x)<g(0),∴ln(1+x)<x;

所以令,即

,于是

从而 

(III)证明:由柯西不等式得:

所以要证

即证 ,也就是需证:

即证:

因为函数的导函数

当x>0时,f′(x)>0,所以当x>0时,

,所以 

解析

(I)解:由,猜想:

下面用数学归纳法证明猜想:成立.

(ⅰ)当n=1时,,猜想成立;

(ⅱ)假设n=k(k∈N*)时,猜想成立,即

那么当n=k+1时,,从而n=k+1时猜想成立.

综合(ⅰ),(ⅱ)知:猜想成立.即数列的通项公式为

(II)证明:当x>0时,构造函数g(x)=ln(1+x)-x,则g′(x)=,∴函数g(x)在(0,+∞)上单调减

∴g(x)<g(0),∴ln(1+x)<x;

所以令,即

,于是

从而 

(III)证明:由柯西不等式得:

所以要证

即证 ,也就是需证:

即证:

因为函数的导函数

当x>0时,f′(x)>0,所以当x>0时,

,所以 

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题型:简答题
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简答题

(1)解不等式:|x-1|+|2x+5|<8;

(2)已知a,b,c>0,且a+b+c=1,证明:

正确答案

(1)解:x≤-2.5时,不等式可化为-x+1-2x-5<8,解得x>-4,∴-2.5≥x>-4;

-2.5<x<1时,不等式可化为-x+1+2x+5<8,解得x<2,∴-2.5<x<1;

x≥1时,不等式可化为x-1+2x+5<8,解得x<,∴1≤x<

综上,不等式的解集为(-4,);

(2)证明:根据柯西不等式可得,不等式左边≥

∵a+b+c=1,

解析

(1)解:x≤-2.5时,不等式可化为-x+1-2x-5<8,解得x>-4,∴-2.5≥x>-4;

-2.5<x<1时,不等式可化为-x+1+2x+5<8,解得x<2,∴-2.5<x<1;

x≥1时,不等式可化为x-1+2x+5<8,解得x<,∴1≤x<

综上,不等式的解集为(-4,);

(2)证明:根据柯西不等式可得,不等式左边≥

∵a+b+c=1,

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题型:简答题
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简答题

已知x+y+z=1,求证

正确答案

解:∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,

∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz.

∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

原不等式得证.

解析

解:∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,

∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz.

∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

原不等式得证.

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|-m(m∈R),不等式f(x)<5的解集为(-4,2).

(Ⅰ)求m的值;

(Ⅱ)实数a,b,c满足a2++=m,求证:a+b+c≤

正确答案

(Ⅰ)解:∵f(x)=|x-1|+|x+3|-m,

∴当x<-3时,由不等式-2x-2-m<5,得x>-.…(2分)

当-3≤x≤1时,4-m<5.…(3分)

当>1时,由不等式2x+2-m<5,得x<.…(4分)

∵不等式f(x)<5的解集为(-4,2),

∴{x|-<x<}={x|-4<x<2},

∴m=1.…(6分)

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,a2++=1,…(7分)

∴(a+b+c)2=(1×a+2×+3×2≤(12+22+32)(a2++)=14…(9分)

∴a+b+c≤.…(10分)

解析

(Ⅰ)解:∵f(x)=|x-1|+|x+3|-m,

∴当x<-3时,由不等式-2x-2-m<5,得x>-.…(2分)

当-3≤x≤1时,4-m<5.…(3分)

当>1时,由不等式2x+2-m<5,得x<.…(4分)

∵不等式f(x)<5的解集为(-4,2),

∴{x|-<x<}={x|-4<x<2},

∴m=1.…(6分)

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,a2++=1,…(7分)

∴(a+b+c)2=(1×a+2×+3×2≤(12+22+32)(a2++)=14…(9分)

∴a+b+c≤.…(10分)

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题型:填空题
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填空题

实数x,y,z 满足x2+y2+z2=1,则xy+yz的最大值是为______

正确答案

解析

解:因为1=x2+y2+z2=(x2+y2)+(y2+z2)≥2xy+2yz=xy+yz),

所以xy+yz≤

xy+yz的最大值为

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

设n是不小于2的正整数,求证:<1-+-+…+-

正确答案

证明:1-+-+…+-=1++++…++-(1+++…+

=+++…+

当n=2时,+=,即有1-+-+…+-

由柯西不等式可得,

+++…+

-+-+…+-=-=

即有=

故1-+-+…+-

则有原不等式成立.

解析

证明:1-+-+…+-=1++++…++-(1+++…+

=+++…+

当n=2时,+=,即有1-+-+…+-

由柯西不等式可得,

+++…+

-+-+…+-=-=

即有=

故1-+-+…+-

则有原不等式成立.

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题型:简答题
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简答题

已知a,b,c>0,++=1,证明.αbc≤

正确答案

证明:根据柯西不等式(n=3)得,

[(1+a2)+(1+b2)+(1+c2)]•(++)≥(a+b+c)2

即a2+b2+c2+3≥(a+b+c)2

整理得,ab+bc+ac≤

再由基本不等式:ab+bc+ac≥3

两边立方得,a2b2c2

所以,abc≤=

即abc≤,证毕.

解析

证明:根据柯西不等式(n=3)得,

[(1+a2)+(1+b2)+(1+c2)]•(++)≥(a+b+c)2

即a2+b2+c2+3≥(a+b+c)2

整理得,ab+bc+ac≤

再由基本不等式:ab+bc+ac≥3

两边立方得,a2b2c2

所以,abc≤=

即abc≤,证毕.

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题型:简答题
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简答题

求函数f(x)=2+的最大值.

正确答案

解:由柯西不等式,f(x)=2+=2+

=

故当且仅当2=,即x=-时,f(x)取得最大值为

解析

解:由柯西不等式,f(x)=2+=2+

=

故当且仅当2=,即x=-时,f(x)取得最大值为

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题型:简答题
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简答题

(选做题)已知a,b,c为正实数,且

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)求的最小值.

正确答案

(Ⅰ)证明:,等号当且仅当a=2时成立

(Ⅱ)解:由柯西不等式知:

等号当且仅当a=b=c=2时成立.

∴所求的最小值为1.

解析

(Ⅰ)证明:,等号当且仅当a=2时成立

(Ⅱ)解:由柯西不等式知:

等号当且仅当a=b=c=2时成立.

∴所求的最小值为1.

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题型:简答题
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简答题

已知|x+2y+3z|≥4(x,y,z∈R).

(Ⅰ)求x2+y2+z2的最小值;

(Ⅱ)若对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,求实数a的取值范围.

正确答案

解:(Ⅰ)由柯西不等式可得,

(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2),

由|x+2y+3z|≥4,

即x2+y2+z2的最小值为

(Ⅱ)由于对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,

且x2+y2+z2的最小值为

则|a+2|≤4,

则有-4≤a+2≤4

则-6≤a≤2,

即a的取值范围为[-6,2].

解析

解:(Ⅰ)由柯西不等式可得,

(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2),

由|x+2y+3z|≥4,

即x2+y2+z2的最小值为

(Ⅱ)由于对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,

且x2+y2+z2的最小值为

则|a+2|≤4,

则有-4≤a+2≤4

则-6≤a≤2,

即a的取值范围为[-6,2].

下一知识点 : 一般形式的柯西不等式
百度题库 > 高考 > 数学 > 二维形式柯西不等式

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