- 二维形式柯西不等式
- 共100题
数列{an}满足,(n∈N*).
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)证明:;
(III)证明:.
正确答案
(I)解:由得,猜想:
下面用数学归纳法证明猜想:成立.
(ⅰ)当n=1时,,猜想成立;
(ⅱ)假设n=k(k∈N*)时,猜想成立,即;
那么当n=k+1时,,从而n=k+1时猜想成立.
综合(ⅰ),(ⅱ)知:猜想成立.即数列的通项公式为.
(II)证明:当x>0时,构造函数g(x)=ln(1+x)-x,则g′(x)=,∴函数g(x)在(0,+∞)上单调减
∴g(x)<g(0),∴ln(1+x)<x;
所以令得,即,
∴,于是,
从而
∴
(III)证明:由柯西不等式得:
所以要证
即证 ,也就是需证:,
即证:;
因为函数的导函数
当x>0时,f′(x)>0,所以当x>0时,,
取得
∴,所以 .
∴
解析
(I)解:由得,猜想:
下面用数学归纳法证明猜想:成立.
(ⅰ)当n=1时,,猜想成立;
(ⅱ)假设n=k(k∈N*)时,猜想成立,即;
那么当n=k+1时,,从而n=k+1时猜想成立.
综合(ⅰ),(ⅱ)知:猜想成立.即数列的通项公式为.
(II)证明:当x>0时,构造函数g(x)=ln(1+x)-x,则g′(x)=,∴函数g(x)在(0,+∞)上单调减
∴g(x)<g(0),∴ln(1+x)<x;
所以令得,即,
∴,于是,
从而
∴
(III)证明:由柯西不等式得:
所以要证
即证 ,也就是需证:,
即证:;
因为函数的导函数
当x>0时,f′(x)>0,所以当x>0时,,
取得
∴,所以 .
∴
(1)解不等式:|x-1|+|2x+5|<8;
(2)已知a,b,c>0,且a+b+c=1,证明:.
正确答案
(1)解:x≤-2.5时,不等式可化为-x+1-2x-5<8,解得x>-4,∴-2.5≥x>-4;
-2.5<x<1时,不等式可化为-x+1+2x+5<8,解得x<2,∴-2.5<x<1;
x≥1时,不等式可化为x-1+2x+5<8,解得x<,∴1≤x<,
综上,不等式的解集为(-4,);
(2)证明:根据柯西不等式可得,不等式左边≥,
∵a+b+c=1,
∴≥,
∴.
解析
(1)解:x≤-2.5时,不等式可化为-x+1-2x-5<8,解得x>-4,∴-2.5≥x>-4;
-2.5<x<1时,不等式可化为-x+1+2x+5<8,解得x<2,∴-2.5<x<1;
x≥1时,不等式可化为x-1+2x+5<8,解得x<,∴1≤x<,
综上,不等式的解集为(-4,);
(2)证明:根据柯西不等式可得,不等式左边≥,
∵a+b+c=1,
∴≥,
∴.
已知x+y+z=1,求证.
正确答案
解:∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,
∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz.
∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
∴.
原不等式得证.
解析
解:∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,
∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz.
∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
∴.
原不等式得证.
已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|-m(m∈R),不等式f(x)<5的解集为(-4,2).
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)实数a,b,c满足a2++=m,求证:a+b+c≤.
正确答案
(Ⅰ)解:∵f(x)=|x-1|+|x+3|-m,
∴当x<-3时,由不等式-2x-2-m<5,得x>-.…(2分)
当-3≤x≤1时,4-m<5.…(3分)
当>1时,由不等式2x+2-m<5,得x<.…(4分)
∵不等式f(x)<5的解集为(-4,2),
∴{x|-<x<}={x|-4<x<2},
∴m=1.…(6分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,a2++=1,…(7分)
∴(a+b+c)2=(1×a+2×+3×)2≤(12+22+32)(a2++)=14…(9分)
∴a+b+c≤.…(10分)
解析
(Ⅰ)解:∵f(x)=|x-1|+|x+3|-m,
∴当x<-3时,由不等式-2x-2-m<5,得x>-.…(2分)
当-3≤x≤1时,4-m<5.…(3分)
当>1时,由不等式2x+2-m<5,得x<.…(4分)
∵不等式f(x)<5的解集为(-4,2),
∴{x|-<x<}={x|-4<x<2},
∴m=1.…(6分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,a2++=1,…(7分)
∴(a+b+c)2=(1×a+2×+3×)2≤(12+22+32)(a2++)=14…(9分)
∴a+b+c≤.…(10分)
实数x,y,z 满足x2+y2+z2=1,则xy+yz的最大值是为______.
正确答案
解析
解:因为1=x2+y2+z2=(x2+y2)+(y2+z2)≥2xy+2yz=(xy+yz),
所以xy+yz≤,
故xy+yz的最大值为.
故答案为:.
设n是不小于2的正整数,求证:<1-+-+…+-<.
正确答案
证明:1-+-+…+-=1++++…++-(1+++…+)
=+++…+,
当n=2时,+=>,即有1-+-+…+->;
由柯西不等式可得,
+++…+<,
由<-+-+…+-=-=,
即有<=.
故1-+-+…+-<.
则有原不等式成立.
解析
证明:1-+-+…+-=1++++…++-(1+++…+)
=+++…+,
当n=2时,+=>,即有1-+-+…+->;
由柯西不等式可得,
+++…+<,
由<-+-+…+-=-=,
即有<=.
故1-+-+…+-<.
则有原不等式成立.
已知a,b,c>0,++=1,证明.αbc≤.
正确答案
证明:根据柯西不等式(n=3)得,
[(1+a2)+(1+b2)+(1+c2)]•(++)≥(a+b+c)2,
即a2+b2+c2+3≥(a+b+c)2,
整理得,ab+bc+ac≤,
再由基本不等式:ab+bc+ac≥3,
两边立方得,a2b2c2≤≤,
所以,abc≤=,
即abc≤,证毕.
解析
证明:根据柯西不等式(n=3)得,
[(1+a2)+(1+b2)+(1+c2)]•(++)≥(a+b+c)2,
即a2+b2+c2+3≥(a+b+c)2,
整理得,ab+bc+ac≤,
再由基本不等式:ab+bc+ac≥3,
两边立方得,a2b2c2≤≤,
所以,abc≤=,
即abc≤,证毕.
求函数f(x)=2+的最大值.
正确答案
解:由柯西不等式,f(x)=2+=2+•
≤•=
故当且仅当2=•,即x=-时,f(x)取得最大值为.
解析
解:由柯西不等式,f(x)=2+=2+•
≤•=
故当且仅当2=•,即x=-时,f(x)取得最大值为.
(选做题)已知a,b,c为正实数,且.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求的最小值.
正确答案
(Ⅰ)证明:,等号当且仅当a=2时成立
∴;
(Ⅱ)解:由柯西不等式知:
等号当且仅当a=b=c=2时成立.
∴所求的最小值为1.
解析
(Ⅰ)证明:,等号当且仅当a=2时成立
∴;
(Ⅱ)解:由柯西不等式知:
等号当且仅当a=b=c=2时成立.
∴所求的最小值为1.
已知|x+2y+3z|≥4(x,y,z∈R).
(Ⅰ)求x2+y2+z2的最小值;
(Ⅱ)若对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,求实数a的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ)由柯西不等式可得,
(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2),
由|x+2y+3z|≥4,
则,
即x2+y2+z2的最小值为;
(Ⅱ)由于对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,
且x2+y2+z2的最小值为,
则|a+2|≤4,
则有-4≤a+2≤4
则-6≤a≤2,
即a的取值范围为[-6,2].
解析
解:(Ⅰ)由柯西不等式可得,
(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2),
由|x+2y+3z|≥4,
则,
即x2+y2+z2的最小值为;
(Ⅱ)由于对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,
且x2+y2+z2的最小值为,
则|a+2|≤4,
则有-4≤a+2≤4
则-6≤a≤2,
即a的取值范围为[-6,2].
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