- 二维形式柯西不等式
- 共100题
已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求
正确答案
解：因为a、b、c＞0，
所以（
≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，…3分
于是
当且仅当
所以，
解析
解：因为a、b、c＞0，
所以（
≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，…3分
于是
当且仅当
所以，
已知实数x，y，z满足x+y+z=1，则x2+y2+z2的最小值为______．
正确答案
解析
解：由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+12+12）
故x2+y2+z2≥
故答案为：
已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为______．
正确答案
解析
解：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2+）（12+22+32）
故x2+y2+z2≥
即：x2+y2+z2的最小值为
故答案为：
已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，则a的取值范围是______．
正确答案
[1，2]
解析
解：由柯西不等式得（
即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2
将条件代入可得5-a2≥（3-a）2，解得1≤a≤2．
当且仅当
可知b=
b=1，c=
所以：a的取值范围是[1，2]．
故答案为：[1，2]．
选做题：若a，b，c＞0，且a2+ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为______．
正确答案
4
解析
解：4×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，
所以2a+b+c≥4．
故答案为：4
（选修4-5：不等式选讲）
已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的最值．
正确答案
解析
解：由柯西不等式得（ 
将条件代入可得5-a2≥（3-a）2，解得1≤a≤2
当且仅当 
可知b=
b=1，c=
已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是______．
正确答案
解析
解：由柯西不等式得 （1+1+1+1）（a2+b2+c2+d2）≥（a+b+c+d）2
即4（16-e2）≥（8-e）2
解得
所以：a的取值范围是
故答案为：
已知a，b，c均为正数
（1）证明：a2+b2+c2+（
（2）若a+b+c=1，求
正确答案
（1）证明：a2+b2+c2+（
取等条件a=b=c=
（2）解：（
所以
解析
（1）证明：a2+b2+c2+（
取等条件a=b=c=
（2）解：（
所以
已知x，y，z∈R+且x+y+z=1则x2+y2+z2的最小值是（ ）
A1
B
C
D2
正确答案
解析
解：∵（x2+y2+z2）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）2=1，
∴x2+y2+z2≥1×
当且仅当x=y=z时取等号，
故 x2+y2+z2的最小值为
故选B．
已知实数a、b、c满足a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，求c的取值范围．
正确答案
解：因为a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，所以a+2b=1-c，a2+b2=1-c2．
由柯西不等式：（12+22）（a2+b2）≥（a+2b）2，…（3分）
所以5（1-c2）≥（1-c）2，
整理得，3c2-c-2≤0，
解得
解析
解：因为a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，所以a+2b=1-c，a2+b2=1-c2．
由柯西不等式：（12+22）（a2+b2）≥（a+2b）2，…（3分）
所以5（1-c2）≥（1-c）2，
整理得，3c2-c-2≤0，
解得
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