二维形式柯西不等式_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）

（Ⅰ）求x2+y2+z2的最小值；

（Ⅱ）若|a+2|≤（x2+y2+z2）对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

正确答案

解析

解：（Ⅰ）∵（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2），且|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）．

∴x2+y2+z2，当且仅当时取等号．

即x2+y2+z2的最小值为．

（Ⅱ）∵x2+y2+z2的最小值为．

∴|a+2|≤=4，

∴-4≤a+2≤4，

解得-6≤a≤2，

即a的取值范围为[-6，2]．

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题型：简答题

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简答题

已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4．

（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

正确答案

解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，

当且仅当-a≤x≤b时，等号成立，

又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，

所以f（x）的最小值为a+b+c，

所以a+b+c=4；

（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，

（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，

即a2+b2+c2≥

当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．

所以a2+b2+c2的最小值为．

解析

解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，

当且仅当-a≤x≤b时，等号成立，

又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，

所以f（x）的最小值为a+b+c，

所以a+b+c=4；

（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，

（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，

即a2+b2+c2≥

当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．

所以a2+b2+c2的最小值为．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=|x|，x∈R．

（Ⅰ）解不等式f（x-1）＞2；

（Ⅱ）若[f（x）]2+y2+z2=9，试求x+2y+2z的最小值．

正确答案

解析

解：（Ⅰ）不等式f（x-1）＞2即|x-1|＞2．

解得 x＜-1，或 x＞3．

故原不等式的解集为 {x|x＜-1，或 x＞3}．

（II）[f（x）]2+y2+z2=9，即x2+y2+z2=9，

由于（x2+y2+z2）×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）2，

∴9×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）2，

∴-9≤x+2y+2z≤9．

则x+2y+2z的最小值为：-9．

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题型：填空题

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填空题

选修4-5不等式选讲

（1）已知x，y，z∈R，且x2+y2+z2=1，求2x+3y+4z的最小值；

（2）解关于x的不等式：|2x+1|+|x+2|＞5．

正确答案

解析

解：（1）因为已知x2+y2+z2=1根据柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）构造得：

即（2x+3y+4z）2≤（x2+y2+z2）（22+32+42）≤1×29=29

故2x+3y+4z≤．当且仅当时取等号．

则2x+3y+4z的最大值是．

故答案为：．

（2）解：f（x）=|2x+1|+|x+2|=，

当x＜-2时，由-3x-3＞5 可得 x＜-，解得 x＜-．

当-2≤x≤-时，由1-x＞5，可得 x＜-4，不等式无解．

当 x＞-时，由3x+3＞5 可得 x＞，解得x＞．

综上可得 x＜-或x＞．

故不等式的解集为：{x|x＜- 或 x＞}．

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题型：简答题

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简答题

选修4-5：不等式选讲

若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．

正确答案

解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，

∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，

即

当且仅当a=b=c=时，取等号

∴当a=b=c=时，的最小值为1．

解析

解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，

∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，

即

当且仅当a=b=c=时，取等号

∴当a=b=c=时，的最小值为1．

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题型：简答题

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简答题

已知x，y，z∈R+，且x+y+z=1．

（1）若++=2，求x，y，z的值．

（2）求证：++≤．

正确答案

（1）解：柯西不等式得：（x+1+y+1+z+1）（1+1+1）≥（++）2，

∵++=2，x+y+z=1

∴x+1=y+1=z+1，

∴x=y=z=；

（2）证明：∵（1+x+1+y+1+z）（++）≥（1+1+1）2，x+y+z=1．

∴++≥，

∴++=1-+1-+1-=3-（++）≤3-=．

∴++≤．

解析

（1）解：柯西不等式得：（x+1+y+1+z+1）（1+1+1）≥（++）2，

∵++=2，x+y+z=1

∴x+1=y+1=z+1，

∴x=y=z=；

（2）证明：∵（1+x+1+y+1+z）（++）≥（1+1+1）2，x+y+z=1．

∴++≥，

∴++=1-+1-+1-=3-（++）≤3-=．

∴++≤．

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题型：简答题

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简答题

设x，y，z∈R且x+2y+3z=1

（I）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围；

（II）当x＞0，y＞0，z＞0时，求的最小值．

正确答案

解：（I）当z=1时，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即

∴|x+y|+|y+1|＞2可化简|x-2|+|x|＞4，

∴x＜0时，-x+2-x＞4，∴x＜-1；

0≤x≤2时，-x+2+x＞4不成立；

x＞2时，x-2+x＞4，∴x＞3

综上知，x＜-1或x＞3；

（II）∵（）[（x+1）+2（y+2）+3（z+3）]≥（x+2y+3z）2∴（）（x+2y+3z+14）≥（x+2y+3z）2，

∴

∴u，当且仅当，又x+2y+3z=1，即x=，y=，z=时，umin=．

解析

解：（I）当z=1时，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即

∴|x+y|+|y+1|＞2可化简|x-2|+|x|＞4，

∴x＜0时，-x+2-x＞4，∴x＜-1；

0≤x≤2时，-x+2+x＞4不成立；

x＞2时，x-2+x＞4，∴x＞3

综上知，x＜-1或x＞3；

（II）∵（）[（x+1）+2（y+2）+3（z+3）]≥（x+2y+3z）2∴（）（x+2y+3z+14）≥（x+2y+3z）2，

∴

∴u，当且仅当，又x+2y+3z=1，即x=，y=，z=时，umin=．

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题型：简答题

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简答题

选修4-5：不等式选讲

已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：（++）（++）≥9．

正确答案

证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，设=x，=y，=z，得x＞0，y＞0，z＞0．

（x+y+z）（++）≥=9．

当且仅当x=y=z时等号成立．

即（++）（++）≥9，

当且仅当==时等号成立．

解析

证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，设=x，=y，=z，得x＞0，y＞0，z＞0．

（x+y+z）（++）≥=9．

当且仅当x=y=z时等号成立．

即（++）（++）≥9，

当且仅当==时等号成立．

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题型：简答题

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简答题

（选修4-5：不等式选讲）

已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值．

正确答案

解：由柯西不等式可得

（）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×9

∴≤3，当且仅当时取等号．

∴的最大值是3

故最大值为3．

解析

解：由柯西不等式可得

（）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×9

∴≤3，当且仅当时取等号．

∴的最大值是3

故最大值为3．

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题型：简答题

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简答题

不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x-2y-3z=4，求x2+y2+z2的最小值．

正确答案

解：由柯西不等式，得[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2），

即（x-2y-3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）

即16≤14（x2+y2+z2）．

所以，即x2+y2+z2的最小值为．…（10分）

解析

解：由柯西不等式，得[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2），

即（x-2y-3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）

即16≤14（x2+y2+z2）．

所以，即x2+y2+z2的最小值为．…（10分）

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