二维形式柯西不等式
共100题

二维形式柯西不等式
共100题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：填空题

填空题

已知x，y，z为正实数，且，求x+4y+9z的最小值______此时 x=______，y=______，z=______．

正确答案

解析

解：∵x，y，z为正实数，++=1，

∴x+4y+9z=（x+4y+9z）•（++）

=1+4+9+（+）+（+）+（+），

∵x，y，z为正实数，

∴+≥4（当且仅当x=2y时取等号）；

+≥6（当且仅当x=3z时取等号）；

+≥12（当且仅当2y=3z时取等号）；

∴1+4+9+（+）+（+）+（+）≥36（当且仅当x=2y=3z时取等号），

即x+4y+9z≥36．

由++=1，得：++=1，

∴x=6，y=3，z=2．

故答案为：36；6，3，2．

题型：填空题

填空题

对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则”．

证明如下：，

即：，即，

由柯西不等式，得．∴．

将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则______”．

正确答案

AA1+BB1+CC1+DD1≥

解析

解：类比证明方法可得：

∴

由柯西不等式，得

∴AA1+BB1+CC1+DD1≥

故答案为：AA1+BB1+CC1+DD1≥．

题型：填空题

填空题

设a，b，c均为正数，且a+b+c=12，则++的最小值为______．

正确答案

解析

解：由柯西不等式得（1+3+5）2≤（a+b+c）（++），

∵a+b+c=12，

∴（1+3+5）2≤12（++），

∴++≥，

当且仅当==取等号，

则++的最小值为．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

不等式选讲：

已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求实数m的取值范围．

正确答案

解析

解：（Ⅰ）证明：由柯西不等式得[a2++]•[12+22+32]≥（a+b+c）2，…2分

即 ≥（a+b+c）2，∴．…4分

（Ⅱ）由已知得a+b+c=2m-2，，∴14（1-m）≥（2m-2）2，

∴2m2+3m-5≤0，∴-≤m≤1．…6分

又 ≥0，∴m≤1．

综上可得，-≤m≤1，即实数m的取值范围为[-，1]．…7分

题型：单选题

单选题

设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（　　）

正确答案

解析

解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，

当且仅当时等号成立

∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，

∴等号成立

∴

∴=

故选C．

题型：简答题

简答题

已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，则x-2y-3z的最大值为______．

正确答案

解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2

则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．

即：（x-2y-3z）2≤14

即：x-2y-3z的最大值为．

故答案为．

解析

解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2

则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．

即：（x-2y-3z）2≤14

即：x-2y-3z的最大值为．

故答案为．

题型：简答题

简答题

选修4-5：不等式证明选讲

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围．

正确答案

解：由柯西不等式得

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2…（4分）

将条件代入可得5-a2≥（3-a）2，解得1≤a≤2…（6分）

当且仅当时等号成立，

可知时amax=2，时，amin=1，

所以a的取值范围是[1，2]．…（10分）

解析

解：由柯西不等式得

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2…（4分）

将条件代入可得5-a2≥（3-a）2，解得1≤a≤2…（6分）

当且仅当时等号成立，

可知时amax=2，时，amin=1，

所以a的取值范围是[1，2]．…（10分）

题型：简答题

简答题

设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明

（1）sin2α+sin2β+sin2γ≥；

（2）tan2α+tan2β+tan2 γ≥．

正确答案

证明：（1）由柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，

因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin2α+sin2β+sin2γ）≥1，得：sin2α+sin2β+sin2γ≥．

（2）由恒等式tan2x=和若a，b，c＞0，则≥，

得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3．

于是=≥=，

由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥-3=．

解析

证明：（1）由柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，

因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin2α+sin2β+sin2γ）≥1，得：sin2α+sin2β+sin2γ≥．

（2）由恒等式tan2x=和若a，b，c＞0，则≥，

得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3．

于是=≥=，

由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥-3=．

题型：单选题

单选题

已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2的最大值是（　　）

A12

B20

C28

D36

正确答案

解析

解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，

∴（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2=5（x2+y2+z2）-4（xy+yz+xz）=20-2[（x+y+z）2-（x2+y2+z2）]=28-2（x+y+z）2≤28

∴当x+y+z=0时（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2的最大值是28．

故选C．

题型：填空题

填空题

若x，y，z均大于零，且x+3y+4z=6，则x2y3z的最大值为______．

正确答案

解析

解：∵x+3y+4z=6，

∴6=x+3y+4z=x+x+y+y+y+4z≥6，

∴x2y3z≤1，

∴x2y3z的最大值为1．

故答案为：1．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 一般形式的柯西不等式

百度题库 > 高考 > 数学 > 二维形式柯西不等式

扫码查看完整答案与解析