热门试卷

解：（1）设矩阵 ，这里a，b，c，d∈R，

则 =3 ，故

=，故

联立以上两方程组解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=．

（2）由已知得直线l的参数方程为 （t为参数），

即 （t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为（x-2）2+（y-1）2=25．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（ +3）t-15=0，

∴t1t2=15，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为15．（10分）

（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）2≤（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2）

所以得：4（16-e）2≥（8-e）2．

解得：0≤e≤

不姐仅当a=b=c=d=时，e取最大值．

（Ⅰ）f′（x）=-=，x＞0．

令f′（x）＞0，得x＞1，因此函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．

令f′（x）＜0，得0＜x＜1，因此函数f（x）的单调递减区间是（0，1）．…（4分）

（Ⅱ）依题意，ma＜f（x）max．

由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上是增函数，

∴f（x）max=f（e）=lne+-1=．

∴ma＜，即ma-＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立．

∴解得-≤m≤．

所以，m的取值范围是[-，]．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，

故f（x）=lnx+-1≥f（1）=0，

∴lnx≥1-，以x2替代x，得lnx2≥1-．

∴ln2l+1n22+…+ln2n＞1-+1-+…+1-

即ln2l+1n22+…+ln2n＞n-（++…+）．

又++…+＜1+++…+

∴-（++…+）＞-[1+++…+]

∴n-（++…+）＞n-[1+++…+]=n-[1+1-+-+…+-]=，

∴ln1+ln2+…+lnn＞．

由柯西不等式，

（ln2l+1n22+…+ln2n）（12+12+…+12）≥（ln1+ln2+…+lnn）2．

∴ln2l+1n22+…+ln2n≥（ln1+ln2+…+lnn）2＞(n≥2，n∈N*)．

∴ln2l+1n22，+…+ln2 n＞(n≥2，n∈N*)．…（14分）

（Ⅰ）∵（+）（x+y）=a2+++b2=a2+b2+（+）

≥a2+b2+2=a2+b2+ab=（a+b）2，当且仅当ay=bx时取等号．

（II）∵f（x）=+=+=（+）（3x2+1-3x2）

由（I）知，上式≥（3+3）2=36，当且仅当3x2=1-3x2即x2=时等号成立，

∴函数f（x）=+（0＜x＜）的最小值36，取最小值时x的值为．

（I）|x-m|≤3⇔-3≤x-m≤3⇔m-3≤x≤m+3，由题意得解得m=2；…（4分）

（II）∵根据柯西不等式，有（a2+b2+c2）（12+12+2）≥（a+b+c）2，

∴-2≤a+b+c≤2，

∴当a=b=时，a+b+c的最大值为2．…（8分）

又∵f（x）=|x-2|，

∴f（2x-1）+f(2x+1)＞a+b+c恒成立等价于|2x-3|+|2x-1|＞2=|2x-3-（2x-1）|，

从而2x-3与2x-1同号，即（2x-3）（2x-1）＞0，

∴x的取值范围是x＞或x＜．…（12分）

详见解析

试题分析：由柯西不等式得

试题解析：因为

，      8分

当且仅当，即时，取等，

所以．                                 10分

（1）设M=，则由题知=，=

所以，解得，所以M=．

设点P（x，y）是直线l上任一点，在M变换下对应的点为P′（x0，y0），

那么=即．

因为2x0-y0-1=0，∴2（-x-4y）-（3x+5y）-1=0 即5x+13y+1=0，

因此直线l的方程是5x+13y+1=0．

（2）由已知，直线的参数方程为t为参数），

曲线s为参数）可以化为x2-y2=4．

将直线的参数方程代入上式，得t2-6t+10=0．

设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1+t2=，t1t2=10．

∴AB=|t1-t2|==2．

（3）由柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2

即x+2y+2z≤3，当且仅当

即x=，y=，z=时，x+2y+2z取得最大值3．

∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x，y，z恒成立，

只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．

即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．