- 对数函数模型的应用
- 共1344题
国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．
（Ⅰ）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；
（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率．
（注：价值损失的百分率=
正确答案
（Ⅰ）由题意可设价值与重量的关系式为：y=kx2（2分）
∵3克拉的价值是54000美元
∴54000=k•32解得：k=6000（4分）
∴y=6000•x2
答：此钻石的价值与重量的函数关系式为y=6000•x2．（6分）
（Ⅱ）设两颗钻石的重量为m、3m克拉
则原有价值是6000（4m）2，现有价值是6000m2+6000（3m）2（8分）
价值损失的百分率=
=
答：价值损失的百分率是37.5%．（14分）
购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买什么卡合算．
正确答案
设该用户每月通话时间为x分钟，
“全球通”卡每月手机费为y1元，“神州行”卡每月手机费为y2元，
则y1=0.40x+50，y2=0.60x
当费用y=120时，解得x1=175，x2=200
∵x1＜x2，预算为120元的时候，
“神州行”卡可通话时间更长，所以购买“神州行”卡更合算．
已知某飞机飞行中每小时的耗油量与其速度的立方成正比．当该机以a公里/小时的速度飞行时，其耗油费用为m元（油的价格为定值）．又设此机每飞行1小时，除耗油费用外的其他费用为n元．试求此机飞行l公里时的最经济时速及总费用．
正确答案
设最经济的时速为x公里/小时，依题意，设1小时耗油费用为y1（元），
由已知，耗油量与其速度的立方成正比，则耗油费用也与速度的立方成正比，因此可设y1=kx3，
又由已知，当x=a时，y1=m，代入上式可求出k=
∴y1=
由题意，飞行1小时的总费用为 
设飞行l公里的总费用为y，则y=(
当且仅当
答：最经济的时速为a
某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140-2x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
正确答案
（1）依题意，y=m（x-20），代入m=140-2x
化简得y=-2x2+180x-2800．
（2）y=-2x2+180x-2800
=-2（x2-90x）-2800
=-2（x-45）2+1250．
当x=45时，y最大=1250．
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大为1250元．
某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定位多少时才能挣得最大利润，并求出最大利润．
正确答案
设该商品售价定位为x元，则销售量为[60-（x-10）×10]件，
∴利润y=（x-8）[60-（x-10）×10]=-10（x-12）2+160
∴当x=12时，y的最大值为160，
∴该商人应把销售价格定为每件12元，可使每天销售该商品所赚利润最多为160元．
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