- 对数函数模型的应用
- 共1344题
祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f（n）表示前n年的纯收入（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）
（Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？
正确答案
由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，
设纯利润与年数的关系为f（n），
则f(n)=50n-[12n+
（I）纯利润就是要求f（n）＞0，∴-2n2+40n-72＞0，
解得2＜n＜18．由n∈N知从第三年开始获利．
（II）①年平均利润=
故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，
②f（n）=-2（n-10）2+128．当n=10时，f（n）max=128．
故第②种方案共获利128+16=144（万美元），
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案．
某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如表：
若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中损耗为300元/h，设A、B两地距离为xkm
（1）设采用汽车与火车运输的总费用分别为f（x）与g（x），求f（x）与g（x）；
（2）试根据A、B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好（即运输总费用最小）．
（注：总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用）
正确答案
（1）∵总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用
∴用汽车运输的总费用为：f(x)=8x+1000+(
用火车运输的总费用为：g(x)=4x+2000+(
（2）由f（x）＜g（x）得x＜
由f（x）=g（x）得x=
由f（x）＞g（x）得x＞
故当A、B两地距离小于
假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购mkg．为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（元）与x的函数关系；
（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，确定x的取值范围．
正确答案
（1）由题知，调节后税率为（8-x）%，
预计可收购m（1+2x%）kg，总金额为1.2m（1+2x%）元
∴y=1.2m（1+2x%）（8-x）%=
（2）∵原计划税收1.2m•8%元，
∴1.2m（1+2x%）（8-x）%≥1.2m•8%•78%，
得x2+42x-88≤0，-44≤x≤2，又∵0＜x≤8，
∴x的取值范围为0＜x≤2．
有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定．大桥上的车距d（m）与车速v（km/h）和车长l（m）的关系满足：d=kv2l+
（1）写出车距d关于车速v的函数关系式；
（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
正确答案
（1）因为当v=60时，d=2.66l，所以k=
∴d=0.0024v2+2…（6分）
（2）设每小时通过的车辆为Q，每小时内通过汽车的数量为Q最大，只须
即Q=
∵0.0024v+
当且仅当0.0024v=
答：当v=50（km/h）时，大桥每小时通过的车辆最多．…（16分）
为抗议日本“购买”钓鱼岛，某汽车4S店计划销售一种印有“钓鱼岛是中国的”车贴，已知车贴的进价为每盒10元，并且车贴的进货量由销售量决定．预计这种车贴以每盒20元的价格销售时该店可销售2000盒，经过市场调研发现：每盒车贴的价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售400盒，而每增加一元则减少销售200盒，现设每盒车贴的销售价格为x元（10＜x≤26），x∈N*．
（1）求销售这种车贴所获得的利润y（元）与每盒车贴的销售价格x的函数关系式；
（2）当每盒车贴的销售价格x为多少元时，该店销售这种车贴所获得的利润y（元）最大，并求出最大值．
正确答案
（1）依题意y=
=
（2）y=
当10＜x≤20时，x=17或18，ymax=22400（元）；
当20＜x≤26时，y＜20000，取不到最大值…（11分）
综上可得，当x=17或18时，该店获得的利润最大为22400元．…（12分）
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