- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树苗全部成活，则到哪一年年初植树后可以将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量自然增长率为20%，求全部绿化后的那一年年底该山林的木材总量（精确到1立方米，1.28≈4.3）．
正确答案
（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记第n年初植树量为an，
由题意数列{an}是首项为a1=100，公差d=50的等差数列，
所以100n+
∴n2+3n-88=0，
∴（n+11）（n-8）=0．
∵n∈N*，
∴n=8．
∴到2009年年初植树后可以将荒山全部绿化．
（2）设2002年初木材存量为2a1m3，到2009年底木材存量增加为2a1×1.28m3，
2003年初木材存量为2a2m3，到2009年底木材存量增加为2a2×1.27m3，
…，
2009年初木材存量为2a8m3，到2009年底木材存量增加为2a8×1.2m3
则到2009年底木材总量为S=2a1×1.28+2a2×1.27+2a3×1.26+…+2a8×1.2
S=900×1.2+800×1.22+…+400×1.26+300×1.27+200×1.281.2×S=900×1.22+800×1.23+…+400×1.27+300×1.28+200×1.29
作差得：0.2S=200×1.29+100（1.22+1.23+…+1.28）-900×1.2=840×1.28-1800≈840×4.3=1812
∴S=9060m3
答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量9060立方米．
某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表：
（注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费）
若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间（分钟）的范围在区间（60，70）内，请选择较为省钱的网络并说明理由．
正确答案
设长途时间为x分钟，则本地时间为5x分钟，则10≤x≤
甲的费用S1=12+2.4x
乙的费用S2=3.7x
∵S2-S1=1.3x-12≥1.3×10-12=1＞0
∴S2＞S1
∴甲省钱
答：联通130网省钱．
某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？这时应进货多少个？
正确答案
设售价应定为x元．
（x-40）[500-（x-50）×10]=8000．
解得x1=60，x2=80．
∵兼顾顾客的利益，
∴售价为60元．
此时的销售量为500-（x-50）×10=400，
∴进货量应在400和500之间．
答：售价为60元；进货量应在400和500之间．
某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
正确答案
（1）当x≤6时，y=50x-115，令50x-115＞0，解得x＞2.3．
∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．
当6＜x≤20时，y=[50-3（x-6）]x-115=-3x2+68x-115
综上可知y=
（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x-115是增函数，
∴当x=6时，ymax=185元．
当6＜x≤20，x∈N时，y=-3x2+68x-115=-3(x-
∴当x=11时，ymax=270元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．
某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将2012年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数
（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
正确答案
（1）由题意：3-x=
∴x=3-
当年生产x（万件）时，年生产成本=32x+3=32(3-
由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费
即y=
（2）y=50-(
扫码查看完整答案与解析