- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某家庭对新购买的商品房进行装潢，设装潢开始后的时间为t（天），室内每立方米空气中甲醛含量为y（毫克）．已知在装潢过程中，y与t成正比；在装潢完工后，y与t的平方成反比，如图所示．
（Ⅰ）写出y关于t的函数关系式；
（Ⅱ）已知国家对室内甲醛含量的卫生标准是甲醛浓度不超过0.08毫克/立方米．按照这个标准，这个家庭装潢完工后，经过多少天才可以入住？
正确答案
（Ⅰ）设直线OA：y=at，将点A（40，0.5）代入直线方程，得a=
即y=
设y=
（8分）y关于t的函数是y=
（Ⅱ）由题意知，
又100-40=60（天）
答：按这个标准，这个家庭在装潢后60天方可入住．（15分）
用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
正确答案
设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，
高为
由3.2-2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，
设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.5）（3.2-2x）（0＜x＜1.6）
整理，得y=-2x3+2.2x2+1.6x，（4分）
∴y'=-6x2+4.4x+1.6（6分）
令y'=0，有-6x2+4.4x+1.6=0，即15x2-11x-4=0，
解得x1=1，x2=-
从而，在定义域（0，1，6）内只有在x=1处使y'=0．
由题意，若x过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y值很小（接近0），
因此，当x=1时y取得最大值，y最大值=-2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2-2×1=1.2．
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3．（12分）
某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和支付费用如表所示该市煤气收费方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费．若该月用气量不超过最低量Am3，那么只付基本费3元和每户每月的客额保险费C元；若用量超过Am3，那么超出部分付超额费，每m3为B元，又知保险费C不超过5元，试根据上述条件及数据求A、B、C的值．
正确答案
设月用气量为xm3，支付煤气费为y元，依题意有：
y=
∴二、三月份煤气费满足②，即
若一月份用气量超过Am3，则4＞A
∴4=3+0.5（4-A）+C得A=2+2C与A=3+2C矛盾
∴4=3+C，C=1，A=5，B=0.5
已知函数
(1)求函数
(2)若
正确答案
(1) 单调增区间为
(2) 值域为
试题分析：(1)先求导，然后分别令
试题解析：.解：(1)
当
当
∴函数
函数
(2)由(1)知
又因为
所以函数
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N﹢）的旅游人数f（t）（万人）近似地满足f（t）=4+
（1）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N﹢）的函数关系式；
（2）求该城市旅游日收益的最小值．
正确答案
（1）由题意，根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数可得W（t）=f（t）g（t）=（4+
（2）当t∈[1，20]时，401+4t+
当t∈（20，30]时，因为W（t）=559+
∵443
∴t∈[1，30]时，W（t）的最小值为441万元．
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