- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=-x+120．
（1）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
正确答案
（1）由题意，销售利润为W=（-x+120）（x-60）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，
∵试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
有-（x-90）2+900≤1.45×60x，
∴60＜x≤87
∴当x=87时，利润最大，最大利润是891；
（2）∵该商场获得利润不低于500元，∴（x-60）（-x+120）≥500
∴70≤x≤110
∴70≤x≤110时，该商场获得利润不低于500元．
答：（1）当x=87时，利润最大，最大利润是891；（2）该商场获得利润不低于500元，销售单价x的范围为[70，110]．
某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
（I）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入
正确答案
（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为8-
整理得x2-65x+1000≤0，
解得25≤x≤40． （5分）
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （6分）
（Ⅱ）依题意，x＞25时，
不等式ax≥25×8+50+
等价于x＞25时，a≥
∵
∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． （13分）
有纯酒精20升，倒出3升后，以水补足20升，这叫第一次操作，第二次操作再倒出3升，再以水补足20升，如此继续下去，则至少操作______次，该酒精浓度降到30%以下．
正确答案
第一次操作酒精浓度为
20-3
20
)2，第k次操作酒精浓度为(
20-3
20
)k
由题意，(
20-3
20
)k≤30%
解得，k≥8
故答案为8
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的
（Ⅰ）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（Ⅱ）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（Ⅲ）设f(x)=
正确答案
（1）f（0）=1，表示没有用水洗时，盘子上洗洁净的量将保持原样．
（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：f(0)=1，f(1)=
（3）设仅清洗一次，残留在洗洁净量为f1=
当0＜a＜2
某地西红柿上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨势态，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f（x）=a•bx，②f（x）=ax2+bx+1，③f（x）=x（x-b）2+a，（以上三式中a，b均是不为零的常数，且b＞1）
（1）为了准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[0，5]）．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此类推；为保证该地的经济收益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该西红柿将在哪几个月份内价格下跌．
正确答案
（1）依题意，符合本题函数模型的函数必须先单调递增，再单调递减，最后单调递增，所以最符合的函数模型为③f（x）=x（x-b）2+a．
分析：∵f（x）=x（x-b）2+a=x3-2bx2+b2x+a．
对此函数求导，得
f′(x)=3x2-4bx+b2=3(x-b)(x-
由f′（x）=0，得x1=b，x2=
f（x）在(-∞，
（2）将f（0）=4，f（2）=6代入f（x）=x（x-b）2+a=x3-2bx2+b2x+a．得
∴f（x）=x3-6x2+9x+4（x∈[0，5]）．
f′（x）=3x2-12x+9=3（x-3）（x-1），
由（1）得f（x）在（1，3）上单调递减，
依题意，可以预测这种西红柿将在9，10两月份价格下跌．
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