- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某投资公司投资甲乙两个项目所获得的利润分别是M（亿元）和N（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式：M=
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）求总利润y的最大值．
正确答案
（1）设甲项目投资x亿元，则乙项目投资（3-x）亿元，这两个项目所获得的总利润为：
y=
（2）设
∴y=
∵t∈[0，
∴当t=1，即x=1时，y有最大值为
答：总利润的最大值是
有一种商品在最近30天内的价格f（t）与天数t的函数关系f(t)=
正确答案
根据题意，销售额=销售量×价格
∴g(t)=
整理得：
g(t)=
①当0＜t＜25时：
对称轴为：t=10，开口向下，
故[0，10]递增，[10，25]递减
此时函数在t=10时取最大值，g（10）=900
②当25≤t≤30时
对称轴为70，开口向上
故[25，30]上递减
此时函数在t=25时取，最大值为g（25）=1125
∴综上，函数在t=25时取，最大值为g（25）=1125
在经济学中，函数f（x）的边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x），某服装公司每天最多生产100件．生产x（x≥1）件的收入函数为R（x）=300x-2x2（单位元），其成本函数为C（x）=50x+300（单位元），利润等于收入与成本之差．
（1）求出利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）；
（2）分别求利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）的最大值．
正确答案
（1）利润函数p（x）=R（x）-C（x）=-2x2+250x-300，x∈[1，100]，x∈N；
边际利润函数Mp（x）=p（x+1）-p（x）=[-2（x+1）2+250（x+1）-300]-（-2x2+250x-300）=248-4x，x∈[1，100]，x∈N．
（2）由利润函数p（x）=-2x2+250x-300=-2（x-62.5）2+7512.5，x∈[1，100]，x∈N，故当x=62或63时，
有最大值p（x）max=7512（元）；
因为Mp（x）=248-4x为减函数，故当x=1时有最大值244．
为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值0≤x≤30（单位：万元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成f（x）的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
正确答案
（1）设商品降价x万元，则多卖的商品数为kx2，
若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意，有f（x）=（30-x-9）（432+kx2）=（21-x）（432+kx2），
又，由已知条件：24=k•22，得 k=6，
所以，f（x）=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0，30]．
（2）根据（1），得 f'（x）=-18x2+252x-432=-18（x-2）（x-12）
作出以下表格：
所以，当x=12时，f（x）达到极大值．因为f（0）=9072，f（12）=11264，
即定价为 30-12=18万元时，能使一个星期的商品销售利润最大．
（理科）当
正确答案
略
扫码查看完整答案与解析