- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间t（t∈N*）（天）的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（t∈N*）（天）之间的关系如下表：
（Ⅰ）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系；
（Ⅱ）根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
（Ⅲ）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量）
正确答案
（I）由已知得：
当0＜t＜25时，设P=kt+b
由图象过（0，20），（30，70）点可得：
解得
故P=t+20
当25≤t≤30时，设P=kt+b
由图象过（25，75），（25，45）点可得：
解得
故P=-t+100
综上所述，商品每件的销售价格P与时间t的函数关系为：P=
（II）设日销售量Q与时间t的一个函数关系式为：Q=kt+b
由表格中数据（5，35），（30，10）得
解得
故日销售量Q与时间t的一个函数关系式为：Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N*）；
（III）由（I）（II）可得商品的日销售金额与时间t的函数关系式满足
y=PQ，即y=
当0＜t＜25时，t=10时，函数取最大值900
当25≤t≤30时，t=25时，函数取最大值1125
综上可得：当t=25时，日销售金额最大，且最大值为1125元．
某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：
方案一：建设两个日处理污水量分别为xl和x2（单位：万m3/d）的污水厂，且3≤xl≤5，3≤x2≤5．
方案二：建设一个日处理污水量为xl+x2（单位：万m3/d）的污水厂．
经调研知：
（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为P=40x2；
（2）每处理1m3的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为：Q=
（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？
（Ⅱ）若xl+x2=8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？
注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用．
正确答案
（Ⅰ）如果仅考虑建设费用，若使用方案一：P1=40
若使用方案二：P2=40(x1+x2)2=40
∵3≤xl≤5，3≤x2≤5，∴P2＞P1．
故使用方案一更经济．
（Ⅱ）由题意，运行n年后，Q1=40
Q2=40(x1+x2)2+0.4(x1+x2)×250n，
由Q1≥Q2，化为0.2（x1+x2）×250n≥80x1x2，
∵x1+x2=8，∴5n≥x1x2，∴5n≥x1（8-x1）．
∵x1∈[3，5]，∴x1(8-x1)=-
∴当x1=3或5时，即x1（8-x1）=15，经过3年方案二与方案一的总费用相等．
当x1∈（3，5]时，x1（8-x1）∈（15，15]，只需经过4年方案二的总费用就少于方案一的总费用．
某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？
（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
正确答案
（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，年销售收入为
则商场该年对该商品征收的总管理费为
11.8-p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜
（2）由y≥14，得
故当比率在[2%，10%]内时，商场收取的管理费将不少于14万元．
（3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，
厂家的销售收入为g（p）=
∵g（p）=
∴g（p）max=g（2）=700（万元）．
故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元
课本中介绍了诺贝尔奖，其发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为
r=6.24%．
（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？
（2）设f（x）表示为第x（x∈N*）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为f（1）），试求函数f（x）的表达式．并据此判断新民网一则新闻“2008年度诺贝尔奖各项奖金高达168万美元”是否与计算结果相符，并说明理由．
正确答案
（1）由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为
19516×(1+6.24%)-
每项奖金发放额为
（2）由题意知：f（1）=19516，
f(2)=f(1)•(1+6.24%)-
f(3)=f(2)•(1+6.24%)-
所以，f（x）=19516•（1+3.12%）x-1（x∈N*）．（5分）
2007年诺贝尔奖发奖后基金总额为f（10）=19516•（1+3.12%）9
2008年度诺贝尔奖各项奖金额为
与168万美元相比少了34万美元，计算结果与新闻不符．（8分）
为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林，经初步统计，在三峡库区内坡度大于25°的坡荒地面积约有2640万亩，若从2003年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩．
（1）若所有被绿化造林的坡荒地全都成功，问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化？
（2）若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米，每年树木木材量的自然生长率为20%，那么当整个库区25°以上坡荒地全部绿化完成的那一年底，一共有木材多少万立方米？（保留1位小数，1.29=5.16，1.28=4.30）
正确答案
（1）设每年应绿化的坡荒地面积为an（单位：万亩），则{an}为等差数列．
∵a1=120，d=60，∴Sn=120n+
令Sn≥2640，即4n+n（n-1）≥88，（n+11）（n-8）≥0，n∈N+，∴n≥8．
故到第8年底，即2010年底可使库区的坡荒地全部绿化．…（5分）
（2）设该库区每年拥有木材量为bn（含种植的树苗及自然生长量，单位：万m3）．则
b1=120×0.1×（1+20%）8=12×1.28；
b2=（120+60）×0.1×（1+20%）7=18×1.27；
…
b8=（120+60×7）×（1+20%）=54×1.2，
∴S8=b1+b2+…+b8=6（2×1.28+3×1.27+…+9×1.2）（1）…8分
1.2S8=6（2×1.29+3×1.28+…+9×1.22） （2）
由（2）-（1）得 0.2 S8=6（2×1.29+1.28+1.27+…1.22-9×1.2）
∴S8=30[2×1.29+
=30（36.12-18）=543.6．
故到2010年底共有木材543.6万m3．…（13分）
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