- 对数函数模型的应用
- 共1344题
一位牧民计划用篱笆为他的马群围一个面积为1600米2的矩形牧场，由于受自然环境的限制，矩形的一边不能超过a米，求用最少篱笆围成牧场后矩形的长和宽．
正确答案
设矩形的一边长为xm（x≤a），则矩形的另一边长为
则矩形的周长为y=2(x+
当a＜40时，y′=2(1-
当a≥40时，函数在（0，40]上为单调减函数，在[40，a]上为单调增函数，所以x=40时，矩形的周长最小，此时矩形的长和宽分别为：40m，40m．
今有一无盖水箱，它是在边长为60的正方形铁板的四个角上，各截去相同的四个小正方形后，再经折起焊接而成的（焊口连接问题不予考虑）．
（I）求水箱容积的表达式f（x），并指出f（x）的定义域；
（II）若要使水箱的容积最大，求水箱的底边长．
正确答案
（I）由题意得，
∵设截去的小正方形的边长是x，
∴水箱的底边长为60-2x，水箱的高为x，
所以，水箱的容积是f（x）与x的函数关系式是：f（x）=（60-2x）2•x．
且f（x）的定义域为（0，30）
（II）由（I）中f（x）=（60-2x）2•x．
∴f′（x）=（60-2x）2•x=（60-2x）（60-6x），令
f′（x）=0，则x=10，或x=30（舍）
则当水箱底面为10时，水箱的容积最大．
某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是P和Q（万元），养殖业生产年利润与投入的资金a（万元）的关系是P=a，养殖加工生产业的年利润与投入的资金a（万元）的关系是Q=8
正确答案
设养殖加工生产业投入x万元，则养殖业投入为80-x万元
从而最大年利润W=8
所以当
答：养殖业与养殖加工生产业投入应各为64，16万元，最大利润为96万元
某公司有甲、乙两个企业，甲企业有员工150人，2004年人均利税1.2万元，乙企业有员工50人，2004年人均利税1.6万元．
（1）求2004年全公司人均利税为多少？
（2）若乙企业人均利税不变，要使公司2006年比2004年人均利税的增长不低于20%，问甲企业从2005年人均利税的年平均增长率至少是多少？
正确答案
（1）由题意，∵甲企业有员工150人，2004年人均利税1.2万元，乙企业有员工50人，2004年人均利税1.6万元
∴2004年全公司人均利税为 
（2）设甲企业从2005年人均利税的年平均增长率为x，则
∴x≥
∴甲企业从2005年人均利税的年平均增长率至少是 
某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次，每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少车厢才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
正确答案
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