- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某地区气候条件恶劣，且位于沙漠边缘地带，到2011年底该地区的绿化率只有30%，计划从2012年开始加大沙漠化改造的力度，每年将原来沙漠面积的16%改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化．
（1）设该地区的总面积为a，2011年底的绿洲面积为a1=
（2）问至少需要经过多少的努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（参考数据：lg2=0.3）
正确答案
（1）证明：设2011年底沙漠面积为b1，经过n年沙漠面积为bn+1，则a1+b1=a，
依题意，an+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积为96%an，另一部分是新绿洲化的面积16%bn，
∴an+1=96%an+16%bn=
（2）由（1）可知an+1-
∴{an-
∴an+1=
依题意：
∴(
4
5
)n＜
∴n＞
∴至少需要5年才能达到目标．
一用户到电信局打算上网开户，经询问，有三种月消费方式：
（1）163普通方式：上网资费2元/小时；
（2）163A方式：每月30元（可上网50小时），超过50小时以上的资费为2元/小时；
（3）ADLSD方式：每月50元，时长不限（其它因素均忽略不计，每月以30日计算）．
（1）分别写出三种上网方式中所用月资费y（元）与时间x（小时）的函数关系式；
（2）在同一坐标系内画出三种上网方式中所用资费与时间的函数图象；
（3）根据你的研究，给这一用户一个合理化的建议．
正确答案
（1）①y=2x （0≤x≤720）
②y=
③y=50（0≤x≤720）；
（2）如图所示；
（3）每月0--15小时，选方案1；
每月15--60小时，选方案2；
每月60小时以上，选方案3．
《文汇报》载，举世瞩目的上海磁悬浮列车工程于2003年3月2日在浦东新区开工，该工程全线长35km．磁悬浮列车运行时悬浮于轨道上面，运行平稳舒适，安全无噪声，可以实现全自动化运行．据德国科学家预言，到2014年，采用新技术的磁悬浮列车的时速将达到1000km/h．现假设上海磁悬浮列车每小时使用的能源费用（千元）和列车速度（km/h）的立方成正比，且最大速度不超过550km/h．当速度是100km/h时，它的能源费用是每小时0.04千元，其余费用（不论速度如何）都是每小时40.96千元，
（1）求列车试运行时，完成全程路线所需的总费用与车速的函数关系；
（2）求车速为多少时，运行的总费用最低？（若写不下，可做在反面）
正确答案
（1）设能源费用每小时是q千元，车速是vkm/h，依题意有q=kv3（k为比例系数），
将v=100，q=0.04代入得k=4×10-8．于是有q=4×10-8v3．
因此列车从甲地行驶到乙地，所需的总费用为y=f（x）=1.4×10-6x2+
（2）因为f（x）=1.4×10-6x2+
≥3[（1.4×10-6x2）×（
并且最小值在1.4×10-6x2=
当且仅当v2=，即v=800时，上面不等式取等号．
但由实际情况可知，目前建造的列车根本达不到800km/h这个速度，即上式中的v是有限制的：0＜v≤550，因此不能利用均值不等式来求函数的最值．我们可以证明函数f（v）在定义域（0，550）上是单调递减的，故车速为550km/h时，运行的总费用最低．
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车辆租赁公司每月需要支出维护费200元．
（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少元？
正确答案
（1）当每辆车的月租金为3600元时，租出的车辆为：
100-
（2）设每辆车的月租金为x元，租赁公司的月收益为y元，则
y=（x-200）•(100-
所以，当x=4100元时，租赁公司月收益最大，为304200元．
（本小题满分12分）国家加大水利工程建设。某地区要修建一条灌溉水渠，其横断面为等腰梯形（如图），底角
（1）求y关于x的函数关系式，并求定义域；
（2）当水渠的深x为多少m时，且
正确答案
解：（1）
（2）
当
略
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