热门试卷

解：（1）取

得,………… 2分

又由，得…………4分

（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.

解（2）显然在上满足①②

………6分

若，且，则有 

故满足条件①﹑②﹑③

所以为友谊函数. ………… 9分

（3）已知为“友谊函数”,且 ,求证:

解：（3）因为，则0＜＜１，………… 11分

所以  …… 1

略

（1）an＝ . Sn＝[1－].

（2）4Sn<Tn.

解：(1)当x，y∈(0，＋∞)时，有f(xy)＝f(x)＋f(y)，

令x＝y＝1得f(1)＝2f(1)，得f(1)＝0，所以a1＝f(1)＋1＝1.(1分)

因为f(－)＋f(＋)＝0，所以f(－)＝0＝f(1).

又因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以－＝1，即－＝4，(3分)

所以数列{}是以1为首项，4为公差的等差数列，所以＝4n－3，所以an＝ .

∵aa＝＝[－]，

∴Sn＝[－＋－＋…＋－]＝[1－].(5分)

(2)由于任意x，y∈R都有g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，则g(2x)＝2g(x)＋2x2，

∴g(1)＝2g()＋2·()2＝2[2g()＋2·()2]＋＝22g()＋＋

＝22[2g()＋2·()2]＋＋＝23g()＋＋＋

＝…＝2ng()＋＋＋＋…＋＋＝1，

∴g()＝，即b＝.

又bn>0，∴bn＝，(9分)

∴Tn＝＋＋…＋＝1－，又4Sn＝1－.

当n＝1,2,3,4时，4n＋1>2n，∴4Sn>Tn；(10分)

当n≥5时，2n＝C＋C＋C＋…＋C＋C>1＋2n＋2＝1＋n2＋n.

而n2＋n＋1－(4n＋1)＝n2－3n＝n(n－3)>0，故4Sn<Tn.(13分)

(用数学归纳法证明参照计分)

（1）当时， ∴ ∴或；……8分

（2）当时， ∴ ……10分

（3）当时， ∴ ∴或……12分

综上所述：当时，不等式解集为；

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为

略