热门试卷

解：设∠ADC＝θ，则∠ADB＝π－θ.      2分

根据余弦定理得

12＋y2－2ycosθ＝（3－x）2，①         4分

12＋y2－2ycos（π－θ）＝x2. ②         6分

由①＋②整理得y＝         8分

其中 解得＜x＜.      

∴函数的定义域为（，）.             10分

（2）   （，）12分

当时，                14分

略

（1）当时，为单调增区间，

当时，为单调减区间， 为单调增区间．

（2）b＜1

（3）首先根据（1）的结论，讨论可得只有0＜a＜时直线l与y=F（x）的图象有两个切点．设切点的横坐标分别为s、t且s＜t，可得l与y=F（x）的图象有两个切点分别为直线l与曲线在x∈（s，t）的切点和曲线在x∈（t，+∞）的切点．由此结合直线的斜率公式和导数的几何意义列出关于a、x1、y1、x2、y2的关系式，化简整理可得，再令=k（0＜k＜1），转化为（k2+1）lnk=2k2﹣2．令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），由根的存在性定理证出：存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0．由此即可得到原命题成立．

试题分析：（1）因为f'（x）=﹣+=，

①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（2分）

②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，

当0＜x＜a时，f'（x）＜0；当x＞a时，f'（x）＞0．

所以（0，a）为单调减区间，（a，+∞）为单调增区间．

综上可得，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，

当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调增区间为（a，+∞）． …（4分）

（2）a=0时，h（x）=f（x）+g（x）=，

∴h'（x）=bx﹣2+=，…（5分）

h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根，

由h'（x）=0得bx2﹣2x+1=0，…（6分）

（ i）b=0，x=，满足题意；…（7分）

（ ii）b＞0时，b•12﹣2•1+1＜0，即0＜b＜1；…（8分）

（ iii）b＜0时，b•12﹣2•1+1＜0，得b＜1，故b＜0；

综上所述，得：h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b＜1． …（9分）

（3）证明：由（1）可知：

（ i）若a≤0，则f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，

所以直线l与y=F（x）的图象不可能有两个切点，不合题意．…（10分）

（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a处取得极值f（a）=1+lna．

若1+lna≥0，a≥时，由图象知不可能有两个切点．…（11分）

故0＜a＜，设f（x）图象与x轴的两个切点的横坐标为s，t（不妨设s＜t），

则直线l与y=F（x）的图象有两个切点即为直线l与

和的切点．

y1'=﹣=，y2'=﹣+=，

设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜x2，且

==﹣﹣，==+，=，

即=1﹣lnx1…①；=1﹣lnx2…②；a=，③

①﹣②得：﹣=﹣lnx1+lnx2=﹣ln，

由③中的a代入上式可得：（﹣）•，

即，…（14分）

令=k（0＜k＜1），则（k2+1）lnk=2k2﹣2，令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），

因为=1﹣＞0，=﹣＜0，

故存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0，

即存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．…（16分）

点评：本题给出含有分式和对数的基本初等函数，求函数f（x）的单调区间、讨论函数f（x）+g（x）的极值点并证明了函数|f（x）|图象与过原点的直线相切的问题．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和用导数求函数图象的切线等知识，属于难题．

解：根据韦达定理得a=,b=.判定的条件是p:结论是q:(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)

(1)由，得a=>2,b=>1,∴qp      -------------------------6分

(2)为证明pq,可以举出反例：取α=4,β=,它满足a=α+β=4+>2,b=αβ=4×=2>1,但q不成立.       -----------------------------------------------9分

综上讨论可知a>2,b>1是的必要但不充分条件.----------------12分

略