- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
正确答案
销售甲，乙两种商品所得利润分别为P（万元）和Q（万元），它们与投入资金t（万元）的关系有经验公式P=
（1）试建立总利润y（万元）关于x的函数表达式
（2）求x为多少时，总利润y最大？并写出最大利润．
正确答案
（1）因为对甲种商品投资x万元，
所以对乙种商品投资为3-x万元
由题意知：y=P+Q=
（2）设
则m≥0且x=3-m2y=
=-
所以当m=
即：
也就是x=
总利润最大，ymax=
故：应甲种商品投资
总利润最大，最大值为
某商品的市场需求量y1（万件），市场供应量y2（万件）与市场价格x（元/件）分别近似地满足下列关系：y1=-x+70，y2=2x-20．当y1=y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
（1）求平衡价格和平衡需求量；
（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？
正确答案
（1）由
∴平衡价格为30元/件和平衡需求量为40万件．
（2）设政府给予t元/件补贴，此时市场平衡价格为x元/件，则供货者实际每件得到（x+t）元/件．
由题意得
因此政府给予每件商品6元/件补贴．
设某银行一年内吸纳储户存款的总数与银行付给储户年利率的平方成正比，若该银行在吸纳到储户存款后即以5%的年利率把储户存款总数的90%贷出以获取利润，问银行支付给储户年利率定为多少时，才能获得最大利润？
（注：银行获得的年利润是贷出款额的年利息与支付给储户的年利息之差．）
正确答案
设银行支付给储户的年利率为x，银行获得的年利润为y，
则y=kx2×0.9×0.05-kx2•x=0.045kx2-kx3（x＞0）．
y'=0.09kx-3kx2=3kx（0.03-x），
令y'=0，得x=0.03，
当x＜0.03时，y'＞0；
当x＞0.03时，y'＜0．
故当x=0.03时，y取极大值，
并且这个极大值就是函数y的最大值．
所以，当银行支付给储户年利率为3%时，银行可获得的年利润．
某客运公司买了每辆2a万元的大客车投入运营，根据调查得知，每辆客车每年客运收入约为a万元，且每辆客车第n年的油料费，维修费及其他各种管理费用总和P（n）（万元）与年数n成正比，又知第3年每辆客车上述费用是该年客运收入的48%．
（1）写出每辆客车运营的总利润y（万元）与n的函数表达式；
（2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？
正确答案
（1）∵客车第n年的各种费用总和P（n）与年数n成正比，
设P（n）=kn，k为待定常数，
∵第3年费用是该年客运收入的48%，
∴0.48a=3k，
∴k=0.16a，
∴P（n）=0.16an，
∴运营的总利润y=an-0.16a（1+2+…+n）-2a=-0.08an2+0.92an-2a，n∈N
（2）
当且仅当0.08an=
∴n2=25，
∴n=5，
∴运营5年可使其运营的年平均利润最大且最大值为0.12a．
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