热门试卷

（1）1000+1000×5.5%×5=1275（万元）--（5分）

（2）设从第三年起每年旧产品投入x万元，新产品投入100-x万元，--（7分）

则每年的年利润y=P(x)+Q(100-x)=[-(x-30)2+20]+[-(100-100+x)2+48(100-100+x)]

=-（x-27）2+659．--（10分）

所以投入旧产品27万元，投入新产品73万元时，每年可获最大利润659万元．--（12分）

（3）因为P（x）在（0，30）上为增函数，

所以前两年利润为y1=2P（20）=20（万元）

后三年利润y2=3[P（27）+Q（73）]=3×659=1977（万元）--（15分）

由（20+1977）×70%=1397.9＞1275，故能还清对银行的欠款．--（17分）

（1）f（5）=53.5，f（20）=47⇒f（5）＞f（20）⇒．

开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．

（2）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1（x-13）2+59.9⇒f（x）是增函数⇒最大值是

f（10）=59；当16＜x＜30时，f（x）是递减的函数，

⇒f（x）＜f（16）=59，故开讲后10钟学生达到最强的接受能力，并维持6分钟．

（3）当0＜x＜10时，令f（x）＞55，则6＜x＜10；

当16＜x＜30时，令f（x）＞55，则16＜x＜17.3

因此，学生达到或超过55的接受能力的时间11.3分钟，

小于13分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题．

（1）；（2）详见解析；（3）正实数的最小值为1

试题分析：（1）求实数、的值，因为曲线与在公共点处有相同的切线，由导数的几何意义可得，，解出即可；（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一，可设，由题设得，，转化为关于的方程只有一解，进而构造函数，转化为函数只有一个零点，可利用导数即可证明；（3）设曲线在点处的切线方程为，则只需使该切线相切即可，也即方程组只有一解即可，所以消后，问题转化关于的方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得值最小值

试题解析：（1）， ∵曲线与在公共点处有相同的切线∴　，　 解得，            3分

（2）设，则由题设有       ①又在点有共同的切线

∴代入①得     5分

设，则，

∴在上单调递增，所以 ＝0最多只有个实根，

从而，结合（1）可知，满足题设的点只能是            7分

（3）当，时，，，

曲线在点处的切线方程为，即 

由，得  

∵ 曲线与总存在公切线，∴ 关于的方程，

即 总有解                    9分

若，则，而，显然不成立，所以     10分

从而，方程可化为  

令，则 

∴ 当时，；当时，，即 在上单调递减，在上单调递增 ∴在的最小值为，

所以，要使方程有解，只须，即               14分

(Ⅰ) f (n) = ，（nÎN*）

前 12 天的销售总量为  354 件

(Ⅱ) 见解析

(I) 根据题意，设f (n) = （nÎN*），  1分

而    f (1) = 2，∴ 5 + a =" 2" Þa = －3．          2分

又     5m + a = －3m + b，∴b = 8m + a = 8m－3，         3分

∴    f (n) = （nÎN*）．       4分

由    f (m) = 57得m = 12．                   5分

∴    f (n) = ，（nÎN*） 6分

前 12 天的销售总量为 5 (1 + 2 + 3 + … + 12)－3×12 =" 354" 件．         7分

(II)   第 13 天的销售量为f (13) = －3×13 + 93 =" 54" 件，      8分

而 354 + 54 > 400 件，

∴    从第 14 天开始销售总量超过 400 件，即开始流行．   9分

设第x 天的日销售量开始低于 30 件 (12 < x≤ 30)，

即f (x) = －3x + 93 < 30 ，   10分

解得x > 21．        11分

∴    从第 22 天开始日销售量低于 30 件．

∵     21－13 = 8，

∴    该服装流行的时间不超过10天．       12分