- 对数函数模型的应用
- 共1344题
有甲，乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为p和q（万元）．它们与投入的资金x（万元）的关系，有经验公式：p=
正确答案
设对甲乙分别投入x，3-x（万元），利润为S．
由S=p+q=
令
当t=1.5即x=2.25，y=0.75（万元）时，有最大利润1.05万元．
某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%．
正确答案
设新电价为x元/千瓦时（0.55≤x≤0.75），则新增用电量为
依题意，有(a+
即（x-0.2）（x-0.3）≥0.6（x-0.4），
整理，得x2-1.1x+0.3≥0，
解此不等式，得x≥0.6或x≤0.5，
又0.55≤x≤0.75，
所以，0.6≤x≤0.75，
因此，xmin=0.6，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%．
2013年东亚运动会于2013年10月6日至10月15日在中国天津举行．天津某体育用品专卖店抓住商机购进某种东亚运动会特许商品进行销售，该特许产品的成本为20元/个，每日的销售量y（单位：个）与单价x（单位：元）之间满足关系式y=
（1）求a的值及每日销售该特许产品所获取的总利润L（x）；
（2）试确定单价x的值，使所获得的总利润L（x）最大．
正确答案
（1）由y=
解得：a=20．
所以y=
则每日销售该特许产品所获取的总利润
L（x）=y（x-20）=[
（2）由L（x）=20+4（x-50）2（x-20）=4x3-480x2+18000x-199980．
得L′（x）=12x2-960x+18000=12（x-30）（x-50）．
当x∈（20，30）时，L′（x）＞0，L（x）为增函数，
当x∈（30，50）时，L′（x）＜0，L（x）为减函数．
所以当x=30时，L（x）max=16020．
所以当销售单价为30元/个时，所获得的总利润L（x）最大．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．今年暑假我校学生公寓建造了可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元．学生公寓每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）我校做到了使总费用f（x）达到最小，请你计算学生公寓隔热层修建的厚度和总费用的最小值．
正确答案
（1）由题意，当x=0，C（x）=10，代入C（x）=
所以f（x）=4x+15C（x）=4x+
（2）f（x）=4x+
=2（2x+3）+
等号成立当且仅当2（2x+3）=
因此隔热层修建6 cm时，总费用f（x）达到最小，最小值为54元．…（13分）
f′（x）=4-
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶，且销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．那么，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
正确答案
设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则
y=x[480-40（x-1）]-200，
由于x＞0，且520-40x＞0，所以，0＜x＜13；
即y=-40x2+520x-200，0＜x＜13．
所以，当x=-
答：当销售单价定位11.5元时，经营部可获得最大利润．
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