- 对数函数模型的应用
- 共1344题
如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y=f （x），并写出它的定义域．
正确答案
由题意AB=2x，弧CD=πx，于是AD=
因此，y=2x•
即函数的解析式为y=-
又由
故函数的定义域为（0，
两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济．
正确答案
设第一次和第二次购物时的价格分别为p1，p2．
按第一种策略，每次购nkg，按这种策略购物时，两次的平均价格是：
x=
若按第二种购物策略，第一次花m元钱，能购
第二次仍花m元钱，能购
两次购物的平均价格为y=
比较两次购物时的平均价格：
x-y=
=
=
=
因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．
某电器公司生产A型电脑，1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元，并以纯利润20%确定出厂价，从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．
（1）求1997年每台A型电脑的生产成本；
（2）以1993年的生产成本为基数，求1993～1997年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01，以下数据可供参考：
正确答案
（1）1993年平均每台生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价，
故1993年出厂价为：5000×（1+20%）=6000元．
所以1997年每台电脑出厂价为：6000×80%=4800元．
1997年得到50%的利润，所以成本为：
（2）设生产成本平均每年降低x个百分点，则：5000（1-x%）4=3200
∴（1-x%）4=
∴x%=10.53%．
答：（1）1997年每台A型电脑的生产成本为3200元；（2）从1993～1997年生产成本平均每年降低10.53%．
某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a•bx+c（a、b、c为常数）已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由．
正确答案
设二次函数为y=px2+qx+r由已知得
解之得
所以y=-0.05x2+0.35x+0.7，
当x=4时，y1=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3（4分）
又对函数y=a•bx+c由已知得
∴y=-0.8×(
根据四月份的实际产量为1.37万元，而|y2-1.37|=0.02＜0.07=|y1-1.37|
所以函数y=-
某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为
正确答案
设B型号电视机的价值为x万元（1≤x＜9），农民得到的补贴为y万元，
则A型号电视机的价值为（10-x）万元，
由题意得，
y=
y′=
由y′=0得，x=4
当x∈[1，4）时，y′＞0，
当x∈（4，9]时，y′＜0
所以当x=4时，y取最大值，
ymax=
即厂家分别投放A、B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约1.2万元．
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