- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某车间生产一种仪器的固定成本是10000元,每生产一台该仪器需要增加投入100元,已知总收益满足函数:H(x)=,其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示);
(2)当月产量为何值时,车间所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利润)
正确答案
(1)设月产量为x台,则总成本为t=10000+100x,
总收益满足函数:H(x)=,
∵f(x)=H(x)-t,
∴利润f(x)=.
(2)当0≤x≤200时,f(x)=-(x-150)2+12500,
∴f(x)max=f(150)=12500.
当x>200时,f(x)=-100x+30000在(200,+∞)上是减函数,
∴f(x)max<f(200)=10000<12500,
∴当月产量为150台时,该车间所获利润最大,最大利润是12500元.
已知某皮鞋厂一天的生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C=4000+50n.
若每双皮鞋的售价为90元,且生产的皮鞋全部售出.试写出这一天的利润P关于这一天的生产数量n的函数关系式,并求出每天至少生产多少双皮鞋,才能不亏本.
正确答案
由题意得:
∵某皮鞋厂一天的生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C=4000+50n
∴p(n)=90n-(4000+50n)
=40n-4000(n∈N)
要不亏本,必须p(n)≥0,
解得n≥100.
答:每天至少生产100双皮鞋,才能不亏本.
某公司按现有能力,每月收入为70万元,公司分析部门测算,若不进行改革,入世后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得入世第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且入世后每月再投入1万元进行员工培训,则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn=an+b,且入世第一个月时收入将为90万元,第二个月时累计收入为170万元,问入世后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.
正确答案
入世改革后经过n个月的纯收入为:Tn-300-n万元,
公司若不进行改革,由题设知入世后因竞争加剧收入将逐月减少.
分析测算得入世第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,
∴不改革,第一个月:70-3-2×(1-1),
第二个月:70-3-2(2-1),
第三个月:70-3-2(3-1),…
第n个月:70-3-2(n-1),
∴不改革时的纯收入为:70n-[3n+•2]万元,
由题设知,
∴,
由题意建立不等式:80n+10-300-n>70n-3n-(n-1)n,
整理,得n2+11n-290>0,
得n>12.2,
∵n∈N,
故取n=13.
答:经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.
渔场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留也适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值).
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值;
(3)当鱼群的年增长量达到最大值值时,求k的取值范围.
正确答案
(1)由题意,空闲率为 1-,
∴y=kx(1-),定义域为(0,m);
(2)由(1)得
y=kx(1-)=-
(x-
)2+
,
因为 x∈(0,m),k>0;
所以当x=时,ymax=
(3)由题意有 0<x+y<m
即:0<+
<m
因为m>0,解得-2<k<2
又k>0
故k的取取值范围为(0,2).
据预测,某旅游景区游客人数在500至1300人之间,游客人数x(人)与游客的消费总额y(元)之间近似地满足关系:y=-x2+2400x-1000000.
(Ⅰ)若该景区游客消费总额不低于400000元时,求景区游客人数的范围.
(Ⅱ)当景区游客的人数为多少人时,游客的人均消费最高?并求游客的人均最高消费额.
正确答案
(Ⅰ)由题意,-x2+2400x-1000000≥400000
即x2-2400x+1400000≤0,
解得1000≤x≤1400
又500≤x≤1300,所以景区游客人数的范围是1000至1300人
(Ⅱ)设游客的人均消费额为,
则 =
=-(x+
)+2400≤400
当且仅当x=1000时等号成立.
答:当景区游客的人数为1000时,游客的人均消费最高,最高消费额为400元.
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