- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
正确答案
（1）由题意得
y=[1.2×（1+0.75x）-1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1）（4分）
整理得y=-60x2+20x+200（0＜x＜1）．（6分）
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式得0＜x＜
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足 0＜x＜0.33．（12分）
建造一个容积为8m3深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2
（1）求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）判断（1）中函数在（0，2]和[2，+∞）上的单调性并用定义法加以证明；
（3）如何设计水池尺寸，才能使总造价最低．
正确答案
（1）设总造价为y元，一边长为xm，则y=4×120+2(
即：y=(
（2）函数y=(
用定义证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
则y1-y2=(
=320(
=320
①当0＜x1＜x2≤2时，x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2-4＜0；
∴y1-y2＞0，即y1＞y2；
∴该函数在（0，2]上单调递减；
②当2≤x1＜x2时，x1-x2＜0，x1x2＞4，即x1x2-4＞0；
∴y1-y2＜0，即y1＜y2，
∴该函数在[2，+∞）上单调递增；
（3）由（2）知当x=2时，函数有最小值ymin=f（2）=1760（元）
即：当水池的长与宽都为2m时，总造价最低，为1760元．
在△ABC中，已知内角A=
（1）求函数y=f（x）的解析式
（2）求y的最值．
正确答案
（1）∵内角A=
∴由正弦定理可得
∴AB=4sin（
∴面积y=
（2）∵0＜x＜
∴-
∴0＜2
∴2x-
经市场调查，某商品在近100天内其销售量和价格均是相间t的函数，且销售量近似地满足关系：g（t）=-
正确答案
前40天内日销售额为S=（
∴S=-
后60天内日销售额为S=（-
∴S=
函数关系式为S=
由上式可知对于0＜t≤40且t∈N*，当t=10或11时，Smax=809．
对于40＜t≤100且t∈N*，当t=41时，Smax=714
综上得，当t=10或11时，Smax=809．
在长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角分别剪去一个相等的正方形，做成一个无盖的盒子．问剪去的正方形边长为多少时，盒子的容积最大，并求出最大容积．
正确答案
设截去四个相相同的小正方形的边长为x，则盒子的容积
为：V（x）=x（32-2x）（20-2x）=4x（16-x）（10-x）
V（x）=4（x3-26x2+160x）
∴V′（x）=4（3x2-52x+160）
令V′（x）=0即：3x2-52x+160=0
解得x=4或x=
∵0＜x＜10
∴x=
当x∈（0，4）时函数为增函数，当x∈（4，10）函数为减函数
∴当x=4时盒子的容积最大，最大容积为1152cm2．
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