- 对数函数模型的应用
- 共1344题
“长为L （米）的大型机器零件，在通过传送带的流水线时，为安全起见，零件之间的距离不得小于 kLv2（米）．其中v （米/时）是流水线的流速，k为比例系数．现经测定，当流速为60 （米/时） 时，零件之间的安全距离为1.44L．
（1）根据给出数据求出比例系数k；
（2）写出流水线上的流量y 关于流水线流速v 的函数关系式； （流量是单位时间内通过的零件数，即 
（3）应该规定多大的流速，才能使同一流水线上的零件流量最大？最大流量是多少？
正确答案
（1）由题意d=kLv2，将流速为60（米/时），安全距离为1.44L代入，可求得1.44L=kL×（60）2，
∴k=
（2）由流量=
（3）由题意y=
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=
（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
正确答案
（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则
S=200x-(
当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；
当x=300时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
则：①当x∈[120，144）时，
②当x∈[144，500]时，
当且仅当
∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为5t-
（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件）．试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数；
（2）当该公司的年产量x多大时，当年所得利润y最大？
正确答案
（1）由题意得：
y=
（2）当0＜x≤5时，函数对称轴为x=
故x=4.75时y最大值为
当x＞5时，函数单调递减，故y＜-
所以当年产量为475件时所得利润最大． （2分）
某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15一O.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为l0．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润=售价 一 供货价格．问：
（I）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（Ⅱ）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？
正确答案
（Ⅰ）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0.1×100=5万套，
此时每套供货价格为30+
∴书商所获得的总利润为5×（100-32）=340万元． （4分）
（Ⅱ）每套丛书售价定为x元时，由
依题意，单套丛书利润P=x-(30+
∴P=-[(150-x)+
∵0＜x＜150，∴150-x＞0，
由 (150-x)+
当且仅当150-x=
答：（Ⅰ）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（Ⅱ）每套丛书售价定为140元时，单套利润取得最大值100元． （12分）
我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：C(x)=
（I）求C（x）和f（x）的表达式；
（II）当陋热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．
正确答案
（I）当x=0时，C=8，因为C(x)=
∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和
∴f(x)=6x+
（II）f(x)=6x+
当且仅当6x+10=
即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元．…（12分）
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