- 圆锥曲线的定点、定值问题
- 共43题
已知双曲线与抛物线的一个交点为,为抛物线的焦点,若,则双曲线的渐近线方程为( )
正确答案
解析
略
知识点
已知抛物线和双曲线都经过点,它们在x轴上有共同焦点,对称轴是坐标轴,抛物线的定点为坐标原点。.
(1)求抛物线和双曲线标准方程;
(2)已知动直线m过点P(3,0),交抛物线于A,B两点,记以线段AP为直径的圆为圆C,
求证:存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值,并求出直线l的方程。
正确答案
见解析。
解析
知识点
设F为抛物线E: 的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,已知 且
(1)求抛物线方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线相交于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)由知又
所以所以所求抛物线方程为
(2)设点P(,), ≠0. ∵Y=,,
切线方程:y-=,即y=
由 ∴Q(,-1)
设M(0,)∴,∵·=0
--++=0,又,∴联立解得=1
故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1)
知识点
20.已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点满足,且的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20.如图,设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上位于轴上方的任意一点,且的面积最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线,若、均与椭圆相切,证明:;
(3)在(2)的条件下,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
21.在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的左焦点为,且椭圆C的离心率.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为,Q是椭圆C上异于的任一点,直线分别交x轴于点S,T,证明:为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
正确答案
解析
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知识点
20.已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点满足,且的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上。
正确答案
解析
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知识点
23.给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆的“准圆”上的一个动点,过点作直线,使得与椭圆都只有一个交点,且分别交其“准圆”于点.
①当为“准圆”与轴正半轴的交点时,求的方程;
②求证:为定值
正确答案
(1)
所以,椭圆方程:,
准圆方程:
(2)①易知且直线斜率存在,
设直线为
联立
因为椭圆与直线有且只有一个交点,
所以,因此’
所以的方程为
②<ⅰ>当的斜率存在时,设点,
设直线
由---(*)
同理,联立和椭圆方程可得:---(**)
由(*)(**)可知,是方程的两个根
,
因此是准圆的直径,所以
<ⅱ>当中有一条斜率不存在时,,此时
所以
解析
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知识点
20. 已知点是椭圆E:()上一点,、分别是椭圆的左、右焦点,是坐标原点,轴.
(1)求椭圆的方程
(2)设、是椭圆上两个动点,.求证:直线的斜率为定值;
正确答案
解:(1)∵PF1⊥x轴,
∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0),
|PF2|=,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3,
椭圆E的方程为:;
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由 得
(x1+1,y1-)+(x2+1,y2-)=(1,- ),
所以x1+x2=-2,y1+y2=(2-)………①
又,,
两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0………..②
以①式代入可得AB的斜率k=为定值;
解析
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知识点
21.在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的左焦点为,且椭圆C的离心率.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为,Q是椭圆C上异于的任一点,直线分别交x轴于点S,T,证明:为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
正确答案
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知识点
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