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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点,若,则双曲线的渐近线方程为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析


知识点

圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知抛物线和双曲线都经过点,它们在x轴上有共同焦点,对称轴是坐标轴,抛物线的定点为坐标原点。.

(1)求抛物线和双曲线标准方程;

(2)已知动直线m过点P(3,0),交抛物线于A,B两点,记以线段AP为直径的圆为圆C,

求证:存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值,并求出直线l的方程。

正确答案

见解析。

解析

知识点

双曲线的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

设F为抛物线E: 的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,已知

(1)求抛物线方程;

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线相交于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

正确答案

见解析

解析

解析:(1)由

所以所以所求抛物线方程为

(2)设点P(,), ≠0. ∵Y=,,

切线方程:y-=,即y=

   ∴Q(,-1)

设M(0,)∴,∵·=0

--++=0,又,∴联立解得=1

故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1)

知识点

向量在几何中的应用抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

20.已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点满足,且的面积为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆的左、右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上。

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

20.如图,设点分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上位于轴上方的任意一点,且的面积最大值为1.

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线,若均与椭圆相切,证明:

(3)在(2)的条件下,试探究在轴上是否存在定点,点的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

21.在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的左焦点为,且椭圆C的离心率.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆C的上下顶点分别为,Q是椭圆C上异于的任一点,直线分别交x轴于点S,T,证明:为定值,并求出该定值;

(3)在椭圆C上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

20.已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点满足,且的面积为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆的左、右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题
1
题型:简答题
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简答题 · 18 分

23.给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为

(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;

(2)点是椭圆的“准圆”上的一个动点,过点作直线,使得与椭圆都只有一个交点,且分别交其“准圆”于点.

①当为“准圆”与轴正半轴的交点时,求的方程;

②求证:为定值

正确答案

(1)

所以,椭圆方程:

准圆方程:

(2)①易知且直线斜率存在,

设直线为

联立

因为椭圆与直线有且只有一个交点,

所以,因此

所以的方程为

②<ⅰ>当的斜率存在时,设点

设直线

---(*)

同理,联立和椭圆方程可得:---(**)

由(*)(**)可知,是方程的两个根

因此是准圆的直径,所以

<ⅱ>当中有一条斜率不存在时,,此时

所以

解析

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知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

20. 已知点是椭圆E:)上一点,分别是椭圆的左、右焦点,是坐标原点,轴.

(1)求椭圆的方程

(2)设是椭圆上两个动点,.求证:直线的斜率为定值;

正确答案

解:(1)∵PF1⊥x轴,

∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0),

|PF2|=,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3,

椭圆E的方程为:

(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由

(x1+1,y1-)+(x2+1,y2-)=(1,- ),

所以x1+x2=-2,y1+y2=(2-………①

两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0………..②

以①式代入可得AB的斜率k=为定值;

解析

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知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

21.在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的左焦点为,且椭圆C的离心率.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆C的上下顶点分别为,Q是椭圆C上异于的任一点,直线分别交x轴于点S,T,证明:为定值,并求出该定值;

(3)在椭圆C上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题
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