圆锥曲线的定点、定值问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知椭圆C:的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程

（Ⅱ）若直线L：与椭圆C相交于A、B两点，且

求证：的面积为定值

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，直线分别与抛物线交于点

（1）证明的值与无关，并用表示；

（2）记直线的斜率为，证明为定值．

正确答案

证明：（1）依题意，设直线的方程为．

将其代入，消去，整理得．

从而．于是

∴与无关，

又

（2）证明：设，

则．

设直线的方程为，将其代入，消去，

整理得

∴．同理可得．

故．

由（1）知，，∴为定值．

解析

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知识点

直线的倾斜角与斜率抛物线焦点弦的性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知椭圆C：的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

21．设，是椭圆上的两点，，，且，椭圆离心率，短轴长为2，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点（为半焦距），求直线AB的斜率；

（Ⅲ）试问的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由，解得，∴所求椭圆的方程为

（Ⅱ）设AB的方程为，则

，．

由已知：

解得

（Ⅲ）当A为顶点时，B必为顶点，则，

当A．B不为顶点时，设AB方程为y=kx+m，

由

，．

又，即，知

∴三角形的面积为定值1

解析

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直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知椭圆的两个焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，直线与圆相切，与椭圆相交于两点．

（I）求椭圆的方程；

（II）证明为定值（为坐标原点）．

正确答案

解：（I）由题意，，

解三角形得，由椭圆定义得，

从而又，则，所以椭圆的方程为

（II）设交点，

联立消去得

由韦达定理得

又直线与圆相切，

则有

从而

所以，即为定值．

解析

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椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

19. 已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点。

（1）求圆C的方程；

（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；

（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

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圆的标准方程直线与圆相交的性质椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2一1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．

(i)求k1k2的值：

(ii)求OB2+ OC2的值．

正确答案

（I）所求椭圆方程为；

(Ⅱ) (i)k1k2；

(ii)OB2+ OC2=7

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难类型，主要在于计算，具体解析如下：

（Ⅰ）设椭圆的右焦点，则

由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，

∴圆心到直线的距离

（*）

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，

∴,，代入（*）式得，，

故所求椭圆方程为

（Ⅱ）（i）设，则，

于是

（ii）方法一由（i）知，，故．

所以，

即，所以，．

又，故．

所以，OB2+OC2 ．

方法二由（i）知，．将直线方程代入椭圆中，

得．同理，．

所以，．

下同方法一

考查方向

本题考查了圆锥曲线中的有关问题，大体可以分成以下几类：

1、椭圆标准方程的求法；

2、点到直线距离公式的应用；

3、直线、圆及圆锥曲线的交汇问题；

4、运算能力的考察。

解题思路

本题考查圆锥曲线的综合问题，难度稍微有些大，问题最大的在于计算，解题步骤如下：

1、根据条件，利用点到直线的距离公式得出基本量a,b,c的关系，进而写出椭圆方程；

2、直接利用斜率的表达式计算出k1k2；

3、此时方法不唯一，可以利用方程间的未知数的关系直接求出各个量的值，进而求出OB2+ OC2=7；也可以把直线方程代入椭圆方程表示出，，进而求出OB2+ OC2=7。

易错点

1、题目分析得到基本量a,b,c的关系时出错；

2、k1k2的表达式写错；

3、直线方程代入椭圆方程后，计算OB2+ OC2出错。

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为.是否存在直线，使得? 若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由.

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）不存在直线，使得

解析

（Ⅰ）因为椭圆的左顶点在圆上，所以.

又离心率为，所以，所以,

所以, 所以的方程为.

（Ⅱ）设直线AP的方程为

因为圆心到直线的距离为，

所以.

因为，

将直线与椭圆方程联立：

得到

因为已知有一根为-4，所以另一根为，得到

代入得到

.

显然，所以不存在直线，使得.

考查方向

本题主要考查椭圆的定义以及直线与椭圆相交产生的弦长问题，难度中档，属高考重要考点。圆锥曲线在高考中以椭圆为主，主要考察圆锥曲线的定义，直线与圆锥曲线相交产生的弦长、面积的最值和范围问题，以及定点和定值问题，计算量较大。

解题思路

将比例进行转化：，最后只需求AQ与AP的长度。

易错点

第二问不能把比例进行转化，而试图去求PQ的长度，却无法求出来。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

22．已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、，记的面积为.

（1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；

（2）设，，，求的值;

（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论和如何变动，面积保持不变.

正确答案

（1）见解析

（2）

（3）

解析

(1)证明：直线：，

点C到的距离.

因为,

所以.

(2)解：由,得.

由（1），得

.

由题意得，

解得或-1.

（3）设则.

设.

由得.

同理.

由（1）

，

整理得

.

由题意知与无关,则

得，所以

知识点

点到直线的距离公式圆锥曲线的定点、定值问题

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