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题型:填空题
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填空题 · 5 分

16.如图,在三棱锥中,已知,设

的最小值为       .

正确答案

2

解析

因为

,所以,所以=,当且仅当时等号成立。

考查方向

本题主要考查向量数量积的运算以及向量的加减法和基本不等式求最值。

解题思路

1)利用向量的加减法将已知向量转化;

2)将向量关系转化为边的关系。

易错点

本题不能将空间的向量问题转化为边角之间的关系解决问题。

知识点

空间向量的数量积运算与二面角有关的立体几何综合题
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

11.已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4,则圆N的面积为(    )

A7

B9

C11

D13

正确答案

D

解析

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知识点

与二面角有关的立体几何综合题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,已知正三棱柱的底面边长是是侧棱的中点,直线与侧面所成的角为

       (1)求此正三棱柱的侧棱长;

(2)求二面角的余弦值大小.

正确答案

见解析。

解析

(1)设正三棱柱的侧棱长为,取中点,连

是正三角形,

又底面侧面,且交线为

侧面,连,则直线与侧面所成的角为

中,,解得

此正三棱柱的侧棱长为

(2)解法一:过,连

侧面

为二面角的平面角。

中,,又

, 

中,

故二面角的余弦值得大小为

(2)解法2:

如图,建立空间直角坐标系

为平面的法向量。

 得

又平面的一个法向量

结合图形可知,二面角的余弦值大小为

知识点

与二面角有关的立体几何综合题
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点。

(1)求证:B1E⊥AD1

(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的行;若存在,求AP的长;若不存在,说明理由。

(3)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,求AB的长。

正确答案

见解析

解析

(1)以A为原点,的方向为X轴,Y轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,

设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1)

=(0,1,1),=(﹣,1,﹣1),=(a,0,1),=(,1,0),

=1﹣1=0

∴B1E⊥AD1

(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,﹣1,t)。

又设平面B1AE的法向量=(x,y,z)。

⊥平面B1AE,∴⊥B1A,⊥AE,得,取x=1,得平面B1AE的一个法向量=(1,﹣,﹣a)。

要使DP∥平面B1AE,只要,即有=0,有此得﹣at=0,解得t=,即P(0,0,),

又DP⊈平面B1AE,

∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=

(3)连接A1D,B1C,由长方体ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D。

∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C。

由(1)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1

∴AD1⊥平面DCB1A1

∴AD1是平面B1A1E的一个法向量,此时=(0,1,1)。

所成的角为θ,则cosθ==

∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,

∴|cosθ|=cos30°==,解得a=2,即AB的长为2

知识点

与二面角有关的立体几何综合题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知是底面边长为1的正四棱柱,的交点。

(1)设与底面所成的角的大小为,二面角的大小为。求证:

(2)若点到平面的距离为,求正四棱柱的高。

正确答案

见解析。

解析

设正四棱柱的高为

(1) 连底面

与底面所成的角为,即

中点,∴,又

是二面角的平面角,即

∴ 

(2)

建立如图空间直角坐标系,有

设平面的一个法向量为

,取

∴  点到平面的距离为,则

知识点

线面角和二面角的求法与二面角有关的立体几何综合题
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 与二面角有关的立体几何综合题

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