- 直线与直线垂直的判定与性质
- 共82题
如图,在直角梯形ABEF中,BE∥AF,∠FAB=90°,CD∥AB,将DCEF沿CD折起,使∠FDA=60°,得到一个空间几何体。
(1)求证:BE∥平面ADF;
(2)求证:AF⊥平面ABCD;
(3)求三棱锥E-BCD的体积。
正确答案
见解析。
解析
(1)
由已知条件可知,折叠之后平行关系不变,又因为
平面
,
平面
,所以
//平面
;
同理//平面
.
又平面
,
平面
//平面
.
又平面
,
∴//平面
.
(2)由于
,即
.
平面
,
平面
.
(3)法一:平面
,
.
又,
.
法二:取中点
,连接
.
由(2)易知⊥平面
,又平面
//平面
,
⊥平面
.
又,
.
,
,
.
.
知识点
在直角梯形ABCD中,ADBC,,
,如图(1),把
沿
翻折,使得平面
,如图(2)。
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积;
(3)在线段上是否存在点N,使得
?若存在,请求出
的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵平面,
,
∴, 2分又∵
,∴
。 …4分
(2)如图(1)在。
,在
。
∴。
如图(2),在,过点
做
于
,∴
。
, 7分∴
。
(3)在线段上存在点N,使得
,理由如下:
如图(2)在中,
,∴
,
过点E做交
于点N,则
,
∵, …10分
又,
,
,
又,∴
。
∴在线段上存在点N,使得
,此时
。
知识点
如图,在五面体
中,四边形
是边长为
的正方形,
∥平面
,
,
,
,
是
的中点。
(1)求证:∥平面
;
(2)求证:平面
;
(3)求五面体的体积。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:连接,
与
相交于点
,则点
是
的中点,连接
,
∵是
的中点,
∴∥
,
.
∵∥平面
,
平面
,平面
平面
,
∴∥
.
∵,
∴∥
,
.
∴四边形是平行四边形.
∴∥
,
.
∵平面
,
平面
,
∴∥平面
.
(2)证法1:取的中点
,连接
,则
,
由(1)知,∥
,且
,
∴四边形是平行四边形。
∴∥
,
.
在Rt△中,
,又
,得
.
∴.
在△中,
,
,
,
∴.
∴.
∴,即
.
∵四边形是正方形,
∴.
∵,
平面
,
平面
,
∴平面
.
证法2:在Rt△中,
为
的中点,
∴.
在△中,
,
∴.
∴.
∵∥
,
∴.
∵平面
,
平面
,
,
∴平面
.
∵平面
,
∴.
∵四边形是正方形,
∴.
∵平面
,
平面
,
,
∴平面
.
(3)
解:连接,
在Rt△中,
,
∴.
由(2)知平面
,且
∥
,
∴平面
.
∵平面
,
∥
,
∴平面
.
∴四棱锥的体积为
.
∴三棱锥的体积为
.
∴五面体的体积为
.
知识点
给定空间中的直线l及平面,条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的 [答] ( )。
正确答案
解析
略
知识点
设m,n是平面内两条不同直线,l是平面
外的一条直线,则“l⊥m,l⊥n”是“l⊥
”的
正确答案
解析
略
知识点
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