直线与直线垂直的判定与性质
共82题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．如图，在四棱锥中，底面是一直角梯形，，//，，底面，与底面成角，点是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

正确答案

解：

解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系，由已知可得：余弦

A（0，0，0）， B（1，0，0），C（1，1，0）,

D（0，2，0）， P（0，0，2）， E（0，1，1），

（2），

由

得

令y=1，则n=(1,1,1),

所以，所求二面角的余弦值为.

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知识点

直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD面ABCD，E是PD上一点。

（1）求证：ACBE。

（2）若PD=AD=1，且的余弦值为，求三棱锥E-PBC的体积。

正确答案

解：（1）连接BD 是正方形

又面

面

又BE面PBD；

（2）设，则

又；

中，由余弦定理解为：

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知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

16．如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中点。

（1）求证：MC//平面OAB；

（2）求证：BD⊥OA。

正确答案

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

7.平面α∥平面β且两平面间的距离为，AB和CD是夹在α，β之间的线段，AB⊥CD，AB=2，则CD长度的取值范围为________。

正确答案

[2，+∞)

解析

当AB和CD共面且与平面β垂直时，CD=2

当CD在与AB垂直的平面上又绕C点或D点转动时，CD的长度可以无限大.

知识点

平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

18．在棱长为的正方体中,是线段的中点,底面ABCD的中心是F.

（1）求证:；

（2）求证:∥平面；

（3）求三棱锥的体积。

正确答案

解: （1）证明：根据正方体的性质，

因为，所以，又

所以，，所以；

（2）证明：

连接，因为，

所以为平行四边形，因此

由于是线段的中点,所以，

因为面，平面，

所以∥平面

（3）

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